例題 39
nを自然数とするとき, 次の和を求めよ。
いろいろな数列の和
[(1) 類 北海道情報大, (2) 東京電機大 ]
考え方
b
(1) Ž
k=1 (2k+1)(2k+3)
いろいろな工夫によって, 和を求める
(2)1・1+2・2+3・2+......+n・27-1
ポイント
1
部分分数に分ける
→
(1)
和を書き並べる
② 途中を消す
1 1
1
1 (2n+3)-3
2
3 2n+3
1 =S とおく
→
=
3(2n+3)
2
(2) 求める和をSとすると
S=1・1+2・2+3・2+......+n・2"-1
n
3(2n+3)
(1) 分数の数列の和は,部分分数に分けて途中を消すことで, 和を求められる場合がある。
1
1
第k項を
1
2k+3
22k+1
(2k+1)(2k+3)
と部分分数に分解する。
-2
(2){ (差) (等比)}型の数列の和Sは, S-rs (rは等比数列の公比) を計算することで和を求められる。
等差数列 ak=k と等比数列 bk=21 の積の和 k2k-1 であるから, S-2S を計算する。
解答
n
k=1(2k+1)(2k+3)
{(
k=1
= { ²² (2²+1 — 2²+3)} = = = =² (2k +1
k=1 2
/1/11(1/13-1/2)+(1/3/1/1)+(1/1)
5 157
9
1
+
+
k=12k+1
2n+g)}
2n+1
2k+3
両辺にを掛ける
→
この両辺に2を掛けると
② S-rs を計算
等比数列の和
よって-S=-
27-S-1-(2-1)
2S= 1·2+2·2²+......+(n−1)• 2n−1 + n•2”
辺々を引くと S-2S=1+2+2+... +2"-1-n・2"
S
(1)
S (S)
-n2"= (1-n)・2"-1
2-1
したがって
S=(n-1)・2"+1 答
