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重要 例題 262 媒介変数表示の曲線と面積 (2)
媒介変数tによって, x=2cost-cos2t,
y=2sint-sin 2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と,
x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
指針 曲線の概形をみると, xの1つの値に対してyの値が2つ定まる部分がある (解答の図の
1≦x<12/2 の部分)。 これは,前ページの基本例題261 の題材のように、もの変化につれて
xが常に増加(または常に減少) というわけではないためである。
→xの値の変化を調べて,xの増加･減少が変わるもの値を求め、0≦t≦もにおける♪
解答
図から, 0≦t≦πでは常に y≥0
また, y=2sint (1-cost) であるから, y=0 とすると
sint=0 または cost=1 0≦t≦rから t=0, n)
更に
=-2sint+2sin2t=2sint(2cost-1)
dx
dt
0<t<re
dx = 0 とすると, cost=
11/1/3から
dt
よって, xの値の増減は右上の表のようになる。
TC
π
図ゆえに, osts / におけるyy, Atsにおける
3
y
t=
dx
dt
-3 sint 2 sint cost+
基本 261
yをxとすると
dx
S=S²³₁₂ v₁dx-S₁² y ₁ dx = S ₁3 y de
-3
=Syardto=S(2sint-sin2t)(-2sint+2sin2t)dt S =
-3
=2S(2sint-sin2t) (sint-sin2t)dt
=2S(2sin't-3sintsin2t+ sin²2t)dt
=25.2.1-cos2t
2
3
= 25" (1²/²/2 --cos 2t-cos 4t-6:
TC
-dt
-cos 4t-6sin't cost dt
cost)dt
π
3
=211231-1/23 sin2t-1/23 sin4t-2sin=3
8
1-cos 4t
2
t 0
dx
dt
x 1
34t)dt
+
t=π
-3
π
3
0
y2
2
22
S
:
-
YA
x
73/2
R
また -S=So
TC
t=0
-3
重
方
T
1/3
yi
13-2
(1)
(2
指
x
Sf-s. =S+S=S°
=-2(sint-sin2t)
