-
![]()
-
![]()
a=OA, 6=OBとする。 点CがLXOYの二等分線上にあるとき,
重要例題27)角の二等分線とベクトル
それぞれO と異なる2点A, Bをとる。
| 平面上に原点びから出る, 相異なる2本の半直線 OX, OY (2XOY<180) 上に
42.
E、
1)
oCを実数t(t20) とa, おで表せ。
XOY の二等分線と ZXABの二等分線の交点をPとする。 OA=2,
OB=3, AB=4のとき, OP をāとあで表せ。
[類神戸大] 基本 24
0ひし形の対角線が内角を2等分することを利用する。 OA'3DOB'=1 となる点A', B'
を、それぞれ半直線 OA, OB 上にとり, ひし形OA'C'B'を作ると, 点Cは半直線 OC
上にある→0C=tOC (t20)
(2) (1)の結果を利用 して, 「OPを a, ōで2通りに表し, 係数比較」
Pは ZXABの二等分線上にある→ AA'=ā である点A'をとり, (1)の結果を使うと、
AF はa, あで表される。 OF%3DOA+AF に注目。
C
-日の方針で。
解答
1) a, 5と同じ向きの単位ベクトル
をそれぞれOA', OB' とすると
Y
別解 (1) 2XOY の二等分
線と線分 ABとの交点Dに
対し、AD:DB=lāl:1万か
1万0A+210B
a+
a川 1
al+1 」
点Cは半直線OD上にあるか
らOC=kOD(kz0)
バー. OF-
a
OA=
B!
D
la
C
らOD=
OA'+OB=OC とすると, 四角形
OA'C'B' はひし形となる。
点Cは, ZXOY すなわち ZA'OB' の二等分線上にあるか
ら,半直線 OC'上の点である。
0
A'
AX
a
a
al
そこで
ーk=t とおく。
よって, 実数t(tz0)に対し OC=10C'=t(
a
+)
al+|
2 OF-(4+).
AA'=a である点A'をとると, 点Pは ZXABの二等分線上
) 点PはZXOYの二等分線上にあるから, (1)より
t20
2
3
Y
AB
IAB|IAA|/
にあり, AF=s(
(s20) であるから
B
OP=OA+AF=a+s(
4
2
3
S
+0, 石+0, ax方であるから -1+。
0/2-A-2 A X
3
4
したがって OP=3a+26
これを解いて s=8, t=6
2
IOF」
