例題 251 定積分で表された関数 合
頻出
★★☆☆
次の等式を満たす関数 f(x) と定数 αの値を求めよ。
*f(t) dt = 3x²+x2
② f(t)dt = 3x-ax+1
*f(t) dt は、 の関数である。
例題 250 との違い … 等式に定積分を含むのは同じであるが、積分区間に変数xを含む
* f (t)dt = [F(t)] =
←
a
= F(x)-F(a)
xの関数
見方を変える
xで微分すると off(t)dt=
=
d{F(x)-F(a)}=f(x)
dx
dx
=0
思考プロセス
clione
x= を代入すると f(t)dt =
Action» f(t)dt を含む等式は,xで微分せよ
16(1)
a
b) (x=th(3)
解 (1) 与式の両辺をxで微分すると,
caf*f(t)dt=f(x)より
f(x) =6x+1
・a
(
=(1)
①
---
与式にxa を代入すると, "f(t)dt=0 より ff(t)dt=0 を用い
(10=3a2+α -2
TAM
(3a-2) (a+1)= 0 より
2
るために、積分区間の下
端のαをxに代入する。
a=
3
1536th(+
x
8-=
①
LF dt = - [Fa
==
f(t)dt
M(1)
(2) 与式は ∫*f(t)dt = -3x+ax-1
①の両辺をxで微分すると,
dxf (edt=f(x)より
f(x)=-6x+α
① に x=1 を代入すると,f(t)dt=0 より
よって
0= -3+α-1
a=4
②に代入すると f(x)=-6x+4
積分区間の上端と下端が
一致するようなxの値を
代入する。
