Na2CO3をyモル、NaHCO3をyモルってNa2CO3とNaHCO3のモルは一緒ってことですか？なぜですか？片方はHないのに…

発展例題12 二段階滴定 問題 濃度未知の水酸化ナトリウムと炭酸ナトリウムの混合水溶 液を20mLとり, 1.0mol/Lの塩酸を滴下したところ,右 図の中和滴定曲線が得られた。この混合水溶液20mL中 に含まれていた水酸化ナトリウムおよび炭酸ナトリウムは それぞれ何mol か。 考え方 第1中和点までに NaOH と Na2CO3が反応する。 第1中和点から第2中和点 までは,生じたNaHCO3 が反応する。このとき, 生 じた NaHCO3 と, はじめ にあったNa2CO3とは同じ 物質量であることに注意す る。 各反応式を書いて, 量的関 係を調べる。 P9 BA → → pH- - 7. 中和と塩 89 第1中和点 解答 第1中和点までには、次の2つの反応がおこる。 NaOH+HCI NaCl+H2O Na2CO3 + HCI NaCl + NaHCO3 混合水溶液中のNaOH を x [mol], Na2CO3 をy [mol] とすると, ①,②から、反応に要する塩酸について次式が成立する。 15.0 x+y=1.0× 1000 第1中和点から第2中和点までには,次の反応がおこる。 NaHCO3+HCI NaCl+H2O+CO2 ②で生じた NaHCO3 は y [mol] であり,反応した塩酸は 20.0mL-15.0mL=5.0mLなので, 5.0 y=1.0x 1000( 以上のことから, x=1.0×10-2mol, y =5.0×10-mol 第2 中和点 15.0 20.0 [mL] sar 第Ⅱ章 物質の変化

特性方程式を解く過程はなぜ解答に書かなくてもいいの？

496 基本例題 104 an+1 = pan+g 型の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 α=4, an+1=2an-1 CHART OLUTION 漸化式 an+1= pan+g (p=1, g≠0) 特性方程式 α= pa+α の利用 50100000 ......! JOITUIO p.494 基本事項 1,2,基本100 2 階差数列の利用 ・・・・・・ ① について an+1=pan+q (p=1, g≠0)の形の漸化式から一般項を求めるには, か.44 の基本事項2 で紹介した, 特性方程式を利用する方法が有効である。 an+1=2an-1...... ① において, an+1, an の代 ②に 解答) an+1=2an-1 を変形すると an+1-1=2(an-1) ここで, bn=an−1 とおくと an+1=2an-1 a=2α-1 an+1-α=2(a₂-α) わりにαとおいた方程式 α=2α-1 ...... 対して, ①-② を計算すると an+1-α=2(an-α) そこで,数列{an-α}(数列{an}の各項からαを引いた数を頂とする数列)を 考えると,公比2の等比数列であるから,まず,この数列{an}の一般項を 求める。 ②について (別解 参照) an+1=pan+α an+2=pan+1+g ④-③ から an+2an+1=p(an+1-α) が得られる。 -) ③ において,nの代わりにn+1 とおくと bn+1=26n, b1=α1-1=4-1=3 数列{bn}は,初項3, 公比2の等比数列であるから bn=3.2n-1 bn=an+1- an とするとbn+1=0となり、数列{an}の階差数列{bn}は等比 数列となる。 (E-ON 1,2とも等比数列の形が導かれ, 一般項を求めることができる。 ←の方針。 別角 ( α=2α-1 の解は q=1 なお、この特性方程式 を解く過程は、解答に書 かなくてよい。 よって an=bn+1=3・2-1+1 [inf.慣れてきたら,以下のように bn とおき換えず, an-α のまま考えるとよい。 an+1=2an-1 を変形すると an+1-1=2(an-1) また α-1=4-1=3 よって, 数列{an-1}は,初項3,公比2の等比数列であるから an-1=3.2n-1 (6) 20 ゆえに an=3.2n-1+1 R

黄色で囲んだやつはなぜ知る必要がありますか？なぜ黄色より下のやつだけを書くことダメですか？

て A 7 重要 例題 98 群数列の応用 5 1 3' k=1 3 数列11/12/2 2' CH 8 5 (1) は第何項か。 解答 1 1 31 12' 23' 3' 34' 4' のように群に分ける。 5 3 1 3' 3' (1) は第8群の3番目の項である。 2/2n(n+1) ④ 3 51 3 5 7 1 4 5 8 (3)この数列の初項から第800項までの和を求めよ。 39 1 kt311・7・8+3=31 であるから HART COLUTION 群数列の応用 数列の規則性を見つけ,区切りを入れる ・・・・・・ 1 2 第ん群の最初の項や項数に注目 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。 (12) まず、 何群に含まれるかを考える。 (3) まず,第n群のn個の分数の和を求める。 A 1 200800･39・40=20 であるから n-1 n (2) 第800 項が第n群に含まれるとすると Σ <800 ≦k k=1 k=1 39 ゆえに, 求める和は Σk+ k= 2 よって (n-1)n<1600≦n(n+1) 39.40 <1600 40･41 から,これを満たす自然数nは n=40 PRACTICE･･・･ 98 ③ 数列 また, 第1000項を求めよ。 k=1 (C) 第n群のn個の分数の和は②2k-1)= 1 3 4' 3 5 + 40 40 40 ・39・40 + 5 7 1 11 第 31 項 (2) この数列の第800項を求めよ。 1 [1 40 | 2 23 4'5' 39 40 ==•n² = n n 2 + +......+ 123 ・20(1+39)=790 39)}=7 2'3'3'4'4'4' 39 40 について ...... 第群の番目の 2m-1 n ◆①でn=8,2m-1 k=1 ◆第n群までの項数は k k=1 重要 例題 次の数列の 第7話までの ◆1600=402から判断。 nの不等式を解くの? n はなく見当をつける。 ← ① でn=40, m=20 220- < (2k-1) k=1 について CH 37 = 2. n(n+1)-n=r これは覚えておこう。 CHART 数列 解答 与えられ {6 与え 更に 規則 られ こ -は第何項か、ま ゆえに, 一般項 よって, bn また, り立つ ゆえ よっ ま成 〒8612

なぜ→n≠→0の時、bの値はなんでもいいですか？

446 重要 例題 70 3点を通る平面上の点 点 3点A(1,-1,0), B(3, 1, 2), C (3, 3, 0) の定める平面をαとする。」 が満たす関係式を求めよ。 P(x,y,z)がα上にあるとき, x,y,z CHART O COLUTION 3点A,B,Cが定める平面上にある点P(x,y,z)TO 1 点A(a)を通り ONLAB であるから を満たす 2 OP=sOA+tOB+uOC,s+t+u=1 平面αに垂直なベクトル(法線ベクトル)はAB, LACから求められる。 このに対し、 0 から x,y,zの関係式を求める ( 1 の方針)。 AP= 別解は2の方針。 s, t, u をx, y, zで表し, s+t+u=1に代入する。 解答 平面αの法線ベクトルを n = (a,b,c) (n=0 とする。 ここで AB=(2, 2, 2), AC=(2, 4, 0) n.AB=0 よって NAC であるから ゆえに 2a+46=0 ②から a=-2b よって n=b(-2, 1, 1) n=0 であるから,b=1 としてn=(-2, 1, 1) 点Pは平面上にあるから n•AP=0 AP=(x-1, y-(-1), ²-0)=(x-1,y+1, z) であるから -2x(x-1)+1×(y+1)+1×z = 0 2a+26+2c=0 に垂直n(n-d=000万 n• AC=0 ...... PRACTIC これと①から → したがって 2x-y-z-3=0 別解原点を0とする。 点Pは平面上にあるから, s, t, u を 実数として OP=sOA+tOB+uOC, s+t+u=1 と表される。 よって (x,y,z)=s(1,-1,0)+t(3,1,2)+u(3,30) ゆえに s, t,uについて解くと s = x-y-z s+t+u=1 に代入して整理すると 2 c=b =(s+3t+3u, -s+t+3u, 2t) z=2t x=s+3t+3u,y=-s+t+3u, " t = ³/2² p.438 基本事項 4,基本 60 u= x+y-2z 6 2x-y-z-3=0 ← 1 の方針。 nを成分表示する。 n A inf. 一般に,平面に垂直 な直線をその平面の法線 といい、平面に垂直なベク トルをその平面の法線ベ クトルという。 (*) において、万キロであ れば,b はどの値でもよい。 一般に,1つの平面の法線 ベクトルは無数にある。 ←x,y, 3, zの関係式を求め たいから, s.tuを y, zで表し, s+t+u=1 に代入する。

(2)はなぜ、→e3＝(0、0、1)を使いますか？もしかしたら(0、0、4)とか(0、0、10)とかにならないんじゃないですか？誰か教えてください〜！

420 「解答」 (1) CHART SOLUTION ベクトルと座標軸のなす角 座標軸の向きの基本ベクトルを考える ・・・・・・ (1) 内積を2通りの方法で表し, かについての方程式 を解く。 重要 例題 54 ベクトルと座標軸のなす角 (1) =(√2, 2,2) と = (-1, p,√2) のなす角が60° であるとき、 の値を求めよ。 (2) (1) のと軸の正の向きのなす角0 を求めよ。 (2) Z軸の正の向きとのなす角は,z軸の向きの基本 ベクトル es = (0, 0, 1) とのなす角と等しい。 よって、 とのなす角を求めればよい。 23=√2×(-1)+√2xp+2×√2=√2(p+1) lal=√(√2)²+(√2 )² + 2² = 2√2 161=√(-1)² + p²+(√2)² = √p²+3 at = la || cos 60°から √√2 (p+1) = 2√/2 √/p²+3× ²1/12 すなわち p +1=√2+3 ・① ① の両辺を2乗すると p²+2p+1=p²+3 よって p=1 これは ①を満たす。 (2) Z軸の正の向きと同じ向きのベクトルの1つは e3=(0, 0, 1) (1) より | |= 2 であり,C3=√2,les|=1 であるから b.es cos o= √2 1 √2 = |||ez|2×1 0° 0 ≦180°であるから = E 2.21 0=45° x 00000 INOLTOUTE ZA ea 0 )+IXS+SX1=5A-BAL の成分による 麺 からか>-1 ( ① の左辺) > 0 である との内積は、 この 成分となる。

(1)の存在範囲がなぜ線分A‘B’じゃないですか？

38 平面上の点の存在範囲 (2) 日本 [+FOB, Osts, s≧0, t≧0 「△OAB において,次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 OP=sOA+ 1 (1) (2) OP=OA+tOB, 1≦s≦2,0≦t≦1 例題 答 CHART OLUTION OP=sOA+tOB である点Pの存在範囲 0≦stt≦k を変形して≦1を導く まずsを固定して, tを動かす (1) 0≤s+t≤ // ²5 p.389,390 基本事項 ②. 基本 37 0≦3s +3t≦1 [2] (1) 条件より。 03s+3t≦1であるから, OP=3s (OA) +3t (1/30F) とし. OP=s'OA'+f'OB'′, 0≦s'+t'≦1, s'≧0,f'≧0の形にする。 (2) stは互いに無関係に動く。そこで,まずsを固定して tを動かすとよい。 OP=sOA+fOB=3s(OA) +3t (1/3 OB) また ここで, 3s=s', 3t=t とおくと OP=s(OA) +r(OB), oss+t'≤1, s'20, 20 OR. = よって, 1/2OA=OA, //OBOB'となる点 A', B'をとる と,点Pの存在範囲は △OA'B'の周および内部である。 sを固定して, OA' =SOA とす B CC'E ると OP=OA'+tOB ここで,t を 0≦t≦1の範囲で変化 させると, 点Pは右の図の線分A'C' 0 上を動く。 00 P tOB SOA A A D 重要 43 395 OP=OA' +△OB' 0≤0+A≤1, ≥0, A" A≥0 この形を意識して変形する。 O P B' ベクトル方程式 A B ◆sとtは無関係に動く。 そこで まずsを固定し てtを動かし, Pの動く 範囲 (線分 A'C') を考え る。 次に, sを動かすと どうなるかを考える。 ただし,OC=OA' + OB である。 に,sを1≦s≦2の範囲で変化させると,線分 A'C' は図の線分 AC から DE まで 行に動く。ただし,OC=OA+OB, OD=20A, OE=OD+OB である。 にって, OA+OBOC, 20A=OD, 20A+OB=OF となる点C,D,Eをとると、 Pの存在範囲は平行四辺形ADEC の周および内部である。 ACTICE... 38 ③ △OAB において,次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 B6 AHOR Osstt≦4, s≧0, t≧0

0≦2のとき, 方程式 tan0=-√3 を解け。 また0の範囲に制限がないときの解を求めよ。 解法教えてください!!

自分がたてた式はなぜ違う？

15 雨が鉛直方向に 10 m/sの速さで降っている。水平に走る列車から見ると雨 は鉛直線から30°傾いていた。 列車の速さ”はいくらか(物理)。

8番の別解なんですけど、衝突点はY＝0だからというとこがよく分かりません。一番高いとこにV＝0で衝突した時もV＝0だと思ったから、混雑はしないのですか？誰か教えてください〜

26 高さHのビルの屋上から初速ひ。 で水平方向に投げ出すと、地面に落下する までに飛ぶ水平距離xはいくらか。 7* 前問で,水平から30°上向きに初速 v。 で投げ出した場合はどうか。 8* 傾角30°の斜面がある。最下点から斜面に対して角 30°の方向に初速v で投げ出した。 斜面との衝突点まで の距離lと衝突するまでの時間tを求めよ。 Vo 30° 30° 1

6人が1列に並び、特定の2人が隣り合うのは何通りあるか 特定の2人を決めておいて、残った4人の順列だから4!そして特定の2人は2!通りだから 4!・2!だと思いましたが 5!・2でした。 なぜですか？(これだと特定の2人が被るのでは？)