練習 次の等式を満たす自然数x,yの組をすべて求めよ。
142 (1) x2+2xy+3y²=27
(1) x2+2xy+3y²=27 から (x+y)2+2y²=27
よって
(x+y)2=27-2y2
①
(x+y)^2≧0であるから 27-2y2≧0
この不等式を満たす自然数 y は
[1] y=1のとき, ① から
よって
x+1=±5
[2] y=2のとき, ① から
これを満たす自然数xはない。
[3] y=3のとき, ① から
よって
x+3=±3
[1]~[3] から
別解 x2 +2xy+3y²=27 から
......
D
4
(2) x2+3xy+y2=44
(x,y)=(4,1)
ゆえに
y=1, 2,3
(x+1)=25
xは自然数であるから x=4
(x+2)=19
(x+3)=9
これを満たす自然数xはない。
x2+2yx+3y²-27=0
xが自然数であるとき,xの2次方程式 ② は実数解をもつか
ら、②の判別式をDとすると D≧0
ここで
よって, D≧0から -2y2+27 ≧ 0 ゆえに 2y2≦27
以後の解答は同様。
(2) 左辺は x,yの対称式であるから,xy とすると
x2+3x.x+x2≦x2+xy+y2=44
=y2-1・(3y²-27)=-2y2+27
よって
5x244
この不等式を満たす自然数xは x=1, 2
[1] x=1のとき, 等式は
1+3y+y2=44
よって
y2+3y-43=0
ゆえに
y=
このyの値は不適。
3±√32-4·1· (−43)
2･1
2y2≦27
-3±√181
2
←(x2+2xy+y2)+2y2
=27
←(実数) 20
←y² ≤²
²≤2/7 =
←各yの値を ① に代入。
=13.5
←x+2=±√19
←x=0, -6
←判別式 D≧0を利用し
てyの値を絞り込む方
法。
検討
(2) 等式から
x2=44-(3xy+y2)
3xy+y²≥3·1·1+1²=4
からx≦44-4=40
よって
x=1, 2,3,4,5,6
この方針の場合、xの値
が多くなって、yの値を
求めるのも大変になる。
