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重要 例題 91 4次関数の最大・最小
00000
(1) 関数 y=x*-6x2+10 の最小値を求めよ。
(2)-1≦x≦2のとき, 関数y= (x²-2x-1)-6(x²-2x-1)+5の最大値、最小
値を求めよ。
[(2) 類 名城大]
指針 4次関数の問題であるが,おき換えを利用することにより, 2次関数の最大・最小の
問題に帰着できる。なお,●=tなどとおき換えたときは, tの変域に要注意!
(2) 繰り返し出てくる式x²-2x-1 を =t とおく。 -1≦x≦2におけるx2x-1の
値域がtの変域になる。
解答
CHART 変数のおき換え 変域が変わることに注意
(1) x2 =t とおくと
y を tの式で表すと
t≥0
10
y=t2-6t+10=(t-3)'+1
t≧0の範囲において, yはt=3の
(実数) 20
このかくれた条件に注意。
y=(x2)^2-6x2+10
tの2次式 基本形に。
tt=3つまりx2=3を解
くと
x=±√3
ly=t2-6t+10
とき最小となる。
-最小
このとき
x=±√3
0
よってx=±√3のとき最小値1
(2)x2-2x-1=t とおくと
t=(x-1)2-2
-1≦x≦2から
−2≦t≦2...... ①
をtの式で表すと
y=t2-6t+5=(t-3)2-4
①の範囲において, yは
t=-2で最大値 21,
t=2で最小値 -3 をとる。
t=-2のとき
最大
01
2
x
25
最小
y
(x-1)2-2-2 最大21
(x-1)²=0
ゆえに
よって
x=1
15
t=2のとき
(x-1)2-2=2
_2013
ゆえに
(x-1)=4
最小
x=-1,3
よって
-1≦x≦2 を満たす解はx=-1
以上から x=1のとき最大値21,
x=1のとき最小値 -3
練習 次の関数の最大値、最小値を求めよ。
④ 91 (1) y=-2x-8x2
(2)
<t=x²-2x-1
(-1≦x≦2) のグラフか
らの変域を判断。
(s)
(x-1)^2=4から
x-1=±2
この確認を忘れずに。
