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基本例題 30
1
2
3
7
6
5
4
1'2
2 3'3'3
4
初項から第210 項までの和を求めよ。
解答
9
9
指針 分母が変わるところで区切りを入れて, 群数列として考える。
分母 : 1|22|33,34, 4,4,45,
1個 2個
3個
4個
第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。
=
8
31/12/20,
2'
第1群から第n 群までの項数は
4
分子: 12,34,5,67, 8,9,10 | 11,
分子は,初項1,公差1の等差数列である。 すなわち,もとの数列の項数と分子
は等しい。
まず, 第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
HITAP
-n(n²+1)÷n=
ゆえに、求める和は
k=1
9
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
| 34 5
67
8 9
10 11
10号/3,
23'3' 34 4'4'45'
1
z n(n+1)
2
第210項が第n群に含まれるとすると
1/12 (1
(n−1)n<210≤ n(n+1)
10 11
4'4'5'
=1445
9
1+2+3+……+n=1/11n(n+1)
n²+1
2
よって
(n−1)n<420≤n(n+1)
11
(n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20 21=420 である
から①を満たす自然数nは、
n=20423URSIO
また,第 210 項は分母が20である分数のうちで最後の数
である。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
1/2 n{2+{ // n(n-1) + 1} + (n − 1). 1]÷m
......
=
の分数の数列について
[類 東北学院大 ]
2¹-1(+1)-(20-21-41+20)
k=1
6
もとの数列の第k項は
分子がんである。 また,
第群は分母がんで
個の数を含む。
これから第n群の最後
の数の分子は
BUE (1) n(n+1)
2
･･20・21=210
群の数の分
は第ni
子の和→ 等差数列の
n{2a +(n-1)d)
4
