34 最大・最小(微分法)
Example 34*****
F(x)=x²+1-6(x²+1)+12(x+1)-
(1)x2+1/2138+1/21 で表せ。
10 とし, t=x+1
10
(2)x>0 のとき,f(x) の最小値を求めよ。
Q (1) x² + 1 = (x + 1)²-
解答
x
x+12/12=(x+1/12) 2-3(x+1/2) -
xC
t3-3t
(2)x>0から,相加平均・相乗平均の大小関係より
「相加・相乗平均の
x
[類
Key
小値
き意
きっ
1
x+
-≥2₁/x-
=2
意す
x
x
1
関係で」でok
等号が成り立つのはx=-
xC
すなわち x=1 のときである。
したがって ≧2
f(x)=g(t) とおく。 (1) から
g(t)=t-3t-6(12-2)+12t-10=-6t2+9t+2
よってg'(t)=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)
g'(t) = 0 とすると
t=1,3
t≧2 における g (t) の増減表は右の
t
2
ようになる。
g'(t)
よって, g(t) すなわち f(x) は
t=3 のとき最小値2をとる。 答
g(t)
3±√5
[参考] t=3 のとき x= 2
である。
:
3
:
0 +
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Practice 34 ★★★★★
関数 y=4(sin°0+cos0)+3(sin+cose) に対して
おく。 次の問いに答えよ。
(1) yx関数で表せ。
