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演習 例題 187 指数方程式 対数方程式
[日本女子大]
MIのを定数とする。その方程式-2456+6=0 が異なる2つの正の場
もつようなaの値の範囲を求めよ。
(2) aを定数とする。 x の方程式 {logz(x2+√2)}2-210gz(x2+√2)+α = 0 の実
数解の個数を求めよ。
指針 適当なおき換えにより, 2次方程式の問題に直す。 ただし, おき換えによって, 変数の範
囲と求める条件が変わることに注意が必要。
(1) 2*=t とおくと, x>0⇔t> 1であるから,正の解をもつ条件が, 1
実数解をもつ条件に変わる。
解答
(1) 与式から 4(2x)²-16-2*+5a+6=0
11
2x=t とおくと, 方程式は
4t²-16t+5a+6=0
x>0のときt>1であるから 求める条件は、 2次方程式 ①
がt> 1 の範囲に異なる2つの実数解をもつことである。
すなわち、①の左辺をf(t) とし, ① の判別式をDとすると
[1] D>0 [2] 軸>1 [3] f(1) > 0
[1] 1/21=(-8)-4(5a+6)=−20α+40>0 (2)
[2]
軸は直線t=2で,軸>1の条件は満たされる。
[3] f(1)=5a-6> 0
16
②,③から 0<a<2
(2) 個数の調べ方は, p.225 重要例題144 と同じで, グラフを利用する。 ただし,
log2(x2+√2)=tとおいたときのx
tの対応に注意。
......
......
(2) 10g(x2+√2)=t
① とおくと, 方程式は
t2-2t+a=0
x≧0よりx2+√2≧√2であるから log2 (x2+√2) 10g2√2
したがって 2012/2
t≧
①を満たすxの個数は, t = - のとき x=0の1個,
t> 1/12 のときx>0であるから2個。
-2t+a=0より, -f2+2t=α であるから、②の範囲にお
ける,放物線y=-f2+2t と直線y=a の共有点のt座標に
注意して,方程式の実数解の個数を調べると,
(2)
3
a>1のとき0個;a=1, a <
4
のとき2個;a=
3
練習
③187 体の集合を,座標平面上に図示せよ
(1) 4*+α.?*+1
O
のとき3個;
1より大きい2つの
3
●基本 167,177
+
② から
a <2 ......
6
③ から
5
アイ の共通範囲が答え。
4
1 2 e
YA
1
a>
3 ---
4
71
ai 1
1
1
y=f(t)
10 1
2
t
1
L
1
I
1
1 32
2
L
I
y=a
a,bは定数とする。 次の方程式が異なる2つの実数解をもつような点(α, 6) 全
<a<1のとき4個
