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Level
2007年度 〔1〕
y=x+h
が平面において、放物線y=xをCとする。また、実数kを与えたとき、
で定まる直線を1とする｡
(1) -2<x<2の範囲でCと1が2点で交わるとき, kの満たす条件を求めよ。
()
(2) kが1)の条件を満たすとき、Cと1および2直線x=-2, x=2で囲まれた3つの
部分の面積の和Sをkの式で表せ。
-
ポイント (1) グラフを利用する解法と, 2次方程式の実数解の存在範囲を考える解法
がある。
前者の解法では,y=x-xとy=kの交点を考える方法,直接Cと1の交点を考え
る方法が考えられる。
9 9 11
後者の解法では,-x-k=0の解を考えるが, この解法でも結局y=x²-x-kの
グラフを利用することになる。
(2) 3つの部分の面積をそれぞれ定積分で表すが、そのまま計算を進めると計算量が多
くなる。
(x-a) (x-8) dx-(8-) ¹
の利用と式変形の工夫により計算量を少なくする。
解法 1
(1) y=x2, y=x+kより
x=x+k すなわち x-x=k
よってCとの交点のx座標は,放物線
C' y=x-xと直線l:ykの交点のx座標
に等しい。
y=x²-x=(x-1)² - 1/
で, C'は2点 (2,6), (22) を通り, '
とのグラフは右図のようになる。
したがって, -2<x<2の範囲で C' と'が2
点で交わる条件は
<<2) (>²<D}
(+²6<0)
A
2
C':y=x-x
2
l': y=k
IC
ゆえに, 求める条件は
- <k<2
[注1] 次のように, 直接 C との交点を考えてもよい。
放物線C:y=x2 と直線l:y=x+kが接するとき
x=x+k すなわち x-x-k=0
が重解をもつから,判別式をDとすると
1
D=1+4k=0
...... (
k=-
このとき、接点のx座標はx=0であるか
ら、-2<x<2の範囲で接する。
また, IC上の点 (2,4)を通るとき
:. k=2
4=2+k
よって右図より, -2<x<2の範囲でCと
が2点で交わるときのんの満たす条件は
〔注2〕 Cと1が接するときのkの値は微分法を用いて
1
2
であるから、 接点の座標は
y'=2x=1より, x=-
11
+kより, =-1として求めてもよい。
4 2
よって,
k=-
...
(2) Cとの交点のx座標を求める。
x2-x-k=0
x=x+k より
x=1±√1+4k (-1<x<2)
2
とおくと
₁-1-√1 +4k B =
α=
2
2
YA
α
O
1+√1 +4k
2
§1 2次関数 59
C:y=r
O 1
(12-14)
82
2
1(k=2)
x
