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a<48を満たすのはカ=1の場合で, このとき
基本例題|11 最大公約数·最小公倍数と数の決定 (2)
(2) b=48(=2*.3) のとき, aと 48 の最小公倍数が240 であ
指針>前ページの基本例題 110 と同様に,最大公約数と最小公倍数の性質 を利用する。
(B) bとcの最大公約数は 24,最小公倍数は 144
(A)a, b, cの最大公約数は6
30, 48, 72 の最大公約数は6で, (A) を満たす。
次の
(B),(C) を満たす3つの自然数の組(a, b, c)をすべて求めよ。ただし、
aくらくcとする。
C) aとbの最小公倍数は 240
[専修大)
|D.476 基本事項 (3, 基本 110
2つの自然数 a,bの最大公約数を g, 最小公倍数を1, a=ga', b=gb とすると
S1α' とbは互いに素
2 1=ga'b'
(A)から,a=6k, b=6l, c=6mとして扱うのは難しい(k, 1, mが互いに素である,とは
仮定できないため)。(B) から 6, c, 次に, (C) から aの値を求め,最後に(A)を満たすものを
解とした方が進めやすい。
このとき,b=246', c=24c'(b', c' は互いに素でがくc)とおける。
最小公倍数について 246'c'=144
3 ab=gl
これから6,cを求める。
解答
は
Bの前半の条件から,6=246', c=24c' と表される。
ただし,6', c' は互いに素な自然数で が<c.
『Bの後半の条件から
の
246'c'=144 すなわち b'c'=6
4gb'c=!
これとのを満たす6, c の組は
ゆえに
(6, c)=(24, 144), (48, 72)
4b=246、 c=24c
Aから, aは2と3を素因数にもつ。
また,(C) において
最大公約数は 6=2-3
240=2*.3-5
0=24(=2°-3) のとき, aと24 の最小公倍数が240であ
るようなaは
240=2*-3-5
[1] 6=2°-3
[2] 6=2*-3
これからaの因数を考え
a=24.3-5
これは,aくbを満たさない。
ただし p=1, 2, 3, 4
a=30
る。
るようなaは
a=2P.3·5
以上から
(a, 6, c)=(30, 48, 72)
ただ」
