5
10
15
20
25
5
10
15
20
25
二項定理
(a+b)^ の展開式における abの係数は、パスカルの三角形から4であっ
た。この係数は,組合せの考え方を利用して求めることもできる。
(a+b)^
すなわち
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
1節多項式の乗法・除法と分数式
1
3
を展開して得られる項は, 4個の因数 ①,②,
③ ④ のそれぞれから, aかのどちらかを
取り出して掛け合わせた積である。
例えば, 'b の項は、4個の因数のうち1個
の因数を選んで6を取り出し、残り3個の因数
からαを取り出して掛け合わせることにより得
られる。
すなわち, 4個の因数から1個の因数を選ぶ選び方の数だけ αb の項が
できる。 したがって, dbの項は 4C1 = 4 (個) 現れるから, dbの係数
はCである。
同様に考えると, (a+b)^ の展開式におけるすべての項
a¹, a³b, a²b², ab³, 64
の係数はそれぞれ
(4)
axaxax b = a³b
(a+b)" の展開式における項は,一般に
1
4 Co, 41,42, AC3, 4 CA
である。一般に,次の二項定理が成り立つ。
二項定理
(a+b)" = nCoa"+nCra"-16+nCza"-262+・・・
2
axaxbxa = a³b
axbxaxa = a³b
bxaxaxa = a³b
+nCra"rb"+..+nCn1ab-1+nCnb"
Cra"-"b" (r = 0, 1, 2, ..., n)
と表される。これを (a+b)" の展開式の一般項という。 ただし,やが
は1と定める。 また, C, を二項係数ともいう。
9
1章
草
方程式・式と証明
A
