基本(例題 8 ベクトルの平行と成分
00000
2つのベクトル a=(3, -1), 6=(7-2t, -5+t)が平行になるように,tの値
を定めよ。
[類 千葉工大 ] p.370 基本事項 3
指針 2つのベクトル=(a, as), = (b, ba) =0,d)について
aka となる実数kがある
A
⇔ab2-abi=0 B (証明は,下の検討を参照。)
が成り立つ。 A, B のいずれかの平行条件を利用して、 方程式の問題に帰着させる。
1. 0 であるから, aとが平行になるための必要 7-2t=0かつ-5+t=0
解答 十分条件は,=ka を満たす実数 k が存在することである。
よって (7-2t, -5+t)=k(3, -1)
となる tはない。
すなわち
(7-2t, -5+t)=(3k, -k)
ゆえに
4
7-2t=3k
①, -5+t=k
......
②
x成分成分がそれぞ
①+② ×3 から
- 8+t=0
(0,0)-(1-2 1+2
れ等しい。
したがって t=8
このとき
k=-30
別解 a = 0,
の必要十分条件は
18
よって
0 であるから, a と が平行になるため
(0.0)=(15+2+2
3・(-5+t(-1)(7-2t)=00=1
-15+3t+7-2t=0&s
=0=51+ Dz
したがってt=8
-1)=(-3, 2)
平行条件を利用。
AD-FCなどを考えて
冒 a=0, 6 = 0 のとき
成分で表された平行条件anabe-abı=0の証明
検討
al/kaとなる実数がある (p.362 基本事項 4 )
⇒ (b1,62)=k(a1, a2)
よって, aika1, b2=kaz となる実数kがあるから
abz-azb=as(kaz-az(ka)=0
逆に, b2-ab=0
......
A ならば, a≠0より, α と α2 の少なくとも一方は0でない。
3dXp0000 (=)
α≠0 のとき, A から
b2=
a2
a1
b1=kとおくと,b=ka,b=kazとなり =ka (k は実数)
a1
ゆえに
以上により
allb
α2≠0のときも同様である。
a bab₂-a2b₁=0
0=2
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