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x+my-2m-2=0....... ②
(1) ①,②はm の値にかかわらず,それぞれ定点A,Bを通る,
A,Bの座標を求めよ.
Q (2) ①,②は直交することを示せ .
(3) ①② の交点の軌跡を求めよ.
mを実数とする, ry平面上の2直線
mx-y=0…. ①,
について,次の問いに答えよ.
(1) 37 で勉強しました. 「mの値にかかわらず｣ とあるので, 「m
について整理」して, 恒等式です。
(2) 36 で勉強しました. ② が 「y=｣の形にできません。
(3) ①,②の交点の座標を求めておいて, 45 の要領でやっていこうとするとか
なり大変です。したがって,(1),(2)をうまく利用することになりますが、
Ⅲを忘れてはいけません。
精講
解答
(1) の値にかかわらず mx-y=0 が成りたつとき, x=y=0
. A(0, 0)
②より(y-2)+(x-2)=0 だから
:. B(2, 2)
(2) m・1+(-1).m=0 だから,
①,②は直交する.
(3) (1),(2)より①,②の交点をPとすると ① 1②
より,∠APB=90°
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
Bを直径の両端とする円周上にある。この円の中
心は ABの中点で (1, 1)
<mについて整理
36
AZ
2 x
また,AB=2√2 より半径は √ 2
よって, (x-1)^2+(y-1)²=2
ここで, ①はy軸と一致することはなく, ②は直線y=2 と一致する
ことはないので, 点 (0, 2) は含まれない.
よって, 求める軌跡は
円 (x-1)2+(y-1)^2=2 から,点(0, 2) を除いたもの.
注 一般に,y=mx+n 型直線は, y軸と平行な直線は表せません.
それは,yの頭に文字がないので,yが必ず残って, x=kの形にでき
ないからです. 逆に, xの頭には文字
m=0 を
がついているので,
代入すれば,y=n という形にでき, 軸に平行な直線を表すことが
できます.
参考
45 の要領で①, ② の交点を求めてみると
2(1+m)
1+m² y=
2m(1+m)
1+m²
x=
となり, まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける
こともタイヘンです. しかし,誘導がなければ次のような解答ができます.
x=0のとき, ① より m=y
IC
②に代入して,z+y_y_2=0
I
I
演習問題 47
YA
2
x2+y2-2y-2x=0 .. (x-1)^2+(y-1)²=2
次に, x=0のとき, ①より, y = 0
O
これを②に代入すると, m=-1 となり実数mが存在するので,
点 (0, 0) は適する.
以上のことより, ①, ② の交点の軌跡は円 (x-1)^2+(y-1)2=2 から点
(02) を除いたもの.
ポイント 定点を通る2直線が直交しているとき, その交点は,
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する
HY
tを実数とする. xy平面上の2直線l:t-y=t,
m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ.
(1) t の値にかかわらず, l, m はそれぞれ, 定点A, B を通る.
A,Bの座標を求めよ.
(2) 1, m の交点Pの軌跡を求めよ.
第
JmK SOR
