130 連立型漸化式
α=2, b1=1, an+1=2an+6m (n≧1) ...... ①,
bn+1=an+26m (n≧1)
...② をみたす数列{an}, {bn} がある。
(1) a+b=Cm とおいて, 数列{C}の一般項 C を求めよ.
(2) an-bm=dとおいて, 数列{dn} の一般項 dn を求めよ.
(3) an, bm をnで表せ.
精講
(1) anbu を cm とおくように指示されていますが,このとき
abn を作るのではなく, 与えられた漸化式の一番大きいところ、
つまり, an+1, bn+1 をみて αn+1+bn+ を作ろうと考えます。
すなわち, ①+② を作ります.
(2) ①②を作ります .
(3)a+b=cm,a-ba=da より, an-1/2(catda), bn-1/2(cn-da) です.
=
解答
(1) ①+② より
an+1+bn+1=3(an+6m)
:Cn+1=3Cn
ここで,c=a+b=3 だから,
数列{c} は初項 3, 公比3の等比数列である.
よって, Cn=3.3"-1=3"
(2) ①-② より
an+1-bn+1=an-b
よって, dn+1=dn, d=a-b=1 だから,
数列 {d} は,初項1, 公比1の等比数列である.
<an+1+b+1=Cn+1
|an+1-bn+1=dn+1
|dn+1=1dn
