演習/例題154 関数方程式の条件から導関数を求める
関数 f(x) は微分可能で,f'(0)=a とする。
(1) 任意の実数x,yに対して, 等式f(x+y)=f(x)+f(y) が成り立つとき
f(0),f'(x) を求めよ。
(2) 任意の実数x,yに対して、 等式f(x+y)=f(x)f(y), f(x) > 0 が成り立つと
f(0) を求めよ。 また, f'(x) を a, f(x) で表せ。
演習 152
指針 このようなタイプの問題では, 等式に適当な数値や文字式を代入する
ことがカギとなる。 f(0) を求めるには,x=0 やy=0 の代入を考えてみる。
また,f'(x) は 定義 f'(x)=limf(x+h)-f(x)
h
入して得られる式を利用して, f(x+h) f(x) の部分を変形していく。
JJBR$15 ask
f'(x)=lim
解答
(1) f(x+y)=f(x)+f(y)
① とする。
① に x=0を代入すると f(y)=f(0)+f(y) ア
よって
f(0)=0
また, ① に y=h を代入すると f(x+h)=f(x)+f(h)
ゆえに
f(x+h)-f(x)
h
h→0
......
h→0
......
f(h)
h
=f'(0)=a
=lim
h→0
ƒ(0+h)-f(0)
=lim
TAMS HOh-oh E
h HAPO
f(x+₁)=f(x) f(v₂)
③とする
(*)
に従って求める。 等式に y=hを代
x=x=0を代入してもよい。
ア の両辺からf(y) を引く。
<f(x+h)=f(x)+f(h) から
f(x+h)-f(x)=f(h)
ƒ(+h)-f(
h
lim
h→0
26
| (*) f(0)=0
-=f'(■)
