p.81 基本事項
.
数学Ⅰで
のグラフを
ができる。
〇解とあし
>>0
基本
例題 50 2次方程式の解の存在範囲
2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、 定数の値
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
指針 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解を α, β とする。
(1)2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1>0
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。→α-3とB-3 が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用
する解法 (p.81 の解説)もある。これについては,解答副文の別解] 参照。
2次方程式x^-2px+p+2=0の2つの解をα,β とし,判別式
をDとする。
D =(-p)²-(p+2) =p²-p-2=(p+1)(p-2)
4
解と係数の関係から
(1) a>1,ß>1 であるための条件は
α+β=2p, aβ=p+2
D≧0かつ (α-1)+(β−1) > 0 かつ (α-1)(β−1)>0
D≧0から
(p+1)(p-2) 20
よって
p≤-1, 2≤p
①
(a-1)+(B-1) > 0 すなわち α+ β-2> 0 から2ヵ-20
②
よって
p>1・
(α−1)(β−1) > 0 すなわち αβ- (a+β) +1 > 0 から
p+2-2p+1>0
......
p<3.. ③
(3)
よって
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
③ の共通範囲をとって
2≦p<3
①
p.81 基本事項 [2]
別解 2次関数
f(x)=x2-2px+p+2の
グラフを利用する。
(1) 10/1=(p+1)(p2)≧0,
-1 1 2 3 p
軸についてx=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2≦p<3
y
3-p
20
83
+
x=py=f(x)
B x
2章
9 解と係数の関係、
(2) f(3)=11-5p<0から
>>1/10
p>
解の存在範囲
