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6 水の問題-
合で水を注ぐ. 水面の高さが6に達したときの水面の上昇する速さ, および水面の面積が増加する
曲線 y=e-1 (x≧0) をy軸のまわりに1回転してできる容器がある. この容器に毎秒αの割
速さをa, bを用いて表せ。
(信州大・医一後/一部省略)
ここでは、空の容器に一定の割合で水を注ぐ問題を
水の問題の解き方
扱う。登場する量は,容器の底から水面までの高さ H, 水面の面積S,水の
量Vであり,これらを時刻tの関数と考えるのが基本である.解答では,単
に耳と書いたら時刻における高さを表すものとする (他も同様).
■解答盞
注水開始時点を時刻0とし, 時刻におけ
る水面の高さをHとする.
y=e²-1のときx=log (y+1) であるから,
時刻における水の量Vは,
V = =∫"x{log(y+1)}dy
一方,毎秒αの割合で水を注ぐから,
V = at
① = ② であり,これをtで微分して,
dH
=n{log (H+1)}2-L
dt
このタイプの問題では、水の量(または水を注ぐ割合)を2通りの方法で
表すことがポイントになる.容器の底から水面までの高さがんのときの水面
の面積をS(h) とすると,体積の公式よりV=S" (h) dh.……① であり,一方,毎秒aの割合で水を
水の量V
注ぐから V = at ･････ ② である. ①= ② と, SをHで表した式から求めたいものを計算する. 水面の上
水面の面積が増加する速さは である.
昇する速さは
dS
dH
dt
dt
dv
dt
...
dH
dt π{log (H+1)}
a
dS
dt
1 dH
-=π·2{log (H+1)}·· H+1 dt
=2π'
=a
log (H+1)
H+1
a
よって, H=bのときに水面の上昇する速さは,
π{log(b+1)}
時刻t における水面の面積をSとすると, S="{log (H+1)}
であるから ④の両辺をtで微分して,
a
™{log (H+1)}'
y
H
2a
(H+1) log (H+1)
って, H=bのときに水面の面積が増加する速さは,
2a
(6+1)log (6+1)
y=e²-1
0 log(y+1)
( ③ を用いた)
水面の面積S
H
dH
dt
■水面の上昇する速さは
水面の高さHが♭に達したとき
の水面の上昇する速さを求める
dH
dt
をHで表して H = b
ので.
を代入する.
合成関数の微分法を用いる.
Hはtの関数であることに注意.
(水面の面積)×(水面の上昇速度)
11
11
™ (log (H+1)}2
dH
dt
が注水速度αに等しい, という式
である. こう考えると納得でき
るだろう.
④ 前半と同様に考える.
水面の面積が増加する速さは,
ds
dt
水面の高さHが♭に達したとき
の水面の面積が増加する速さを
をHで表して
求めるので,
dt
H=bを代入する.
