基本例題238 放物線と2接線の間の面積
放物線 C:y=x²-4x+3上の点P(0, 3), Q (6,15) における接線を それぞれl,
m とする。 この2つの接線と放物線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
基本 236237
指針> まず 2接線ℓ m の方程式と, ℓ, m の交点のx座標を求め, グラフをかく。
この交点のx座標を境に接線の方程式が変わるから, 被積分関数も変わる。
→ 被積分関数は, (x-α) の形で表される。 よって, 定積分の計算では,
S(x¬a)²dx=(x−a)²
=Sx³dx+S*(x-6)*dx
(x-6) ³
3
3
解答
y=x²-4x+3 から y'=2x-4
l の方程式は, y-3=(2・0-4) (x-0) から
y=-4x+3
m の方程式は,y-15=(2・6-4) (x-6) から
y=8x-33
lとmの交点のx座標は, -4x+3=8x-33 を解くと
12x-36=0
ゆえに x=3
よって, 求める面積Sは
DS=S{(x-4x+3)-(-4x+3)}dx
+f{(x²-4x+3)-(8x-33)}dx
=9+9=18
+C (Cは積分定数) を利用すると, かなりらくになる。
P
0
|15
(曲線 y=f(x) 上の点
(a, f(α)) における接線の
方程式は
y-f(a)=f'(a)(x-a)
【曲線と接線の上下関係は
x3では
x²-4x+32-4x+3
3≦x≦6では
x²-4x+3≧8x-33
◄ S(x-a) ²dx=(x=a)² + c
f(x)dx=(x-a)
+C
3
