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AP.239 基本事項 1, 2 (重要161,
『本 例題152 和と積の公式
() cos 20° cos 40°
)積→和,和一積の公式を用いて,次の値を求めよ。
(イ) sin75°+sin15°
AABC において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
-cos
cos称
ア) sin75°cos 15°
B
C
A
-COS
2
sin A+sinB+sinC=4cos。
1aー(9+)aieト
指針>(2) AABCの問題には, A+B+C=π (内角の和は180°)の条件がかくれ
「A+B+C=nから, 最初に Cを消去して考える。…
そして,左辺の sinA+sinBに 和→積の公式 を適用。
解答
(1)(ア) sin75°cos 15°=
2
(sin(75°+15°)+sin(75°-15°)}
2+/3
3
1+
2
<公O
=(sin90°+sin60°)=
4
V2
V3
75°-15°
-COS
2200
=2sin45°cos 30°=2·
ie-8-)aie
(イ) sin75°+sin15°=2sin
75°+15°
2
2
2
11
-{cos60°+cos(-20°)}cos 80°:
1
+cos 20° )cos 80°
2
(ウ) cos 20°cos 40°cos 80°=
2
2
nie+ ()1
1
{cos 100°+cos(160°)}
2 2
1
1
-cos 20° cos 80°=
2
-cos 80°+
4
-cos 80°+
4
1
cos 80°+
4
96
"cos 100°+
4
1
1
=cos 80°+-cos(180"-80") +
1
1
8
4
4
8
1
-cos 80°
1
Cos 80°+
4
ieon
1
1
ミ
8
8
(2) A+B+C=πから
C=π-(A+B)
ゆえに
sinC=sin(A+B),
A+B
A+B
π
=COS
2
=sin
2
COS
2
20
A+B
COS
2
(8-)eo A+B
よって
sin A+sinB+sinC=2sin-
A-B
-+sin2·4+B0-0 ホ3
2
2.
A-B aie
+cos
A+B
=2sin
くのく会のとき、 0の方性式
8=2cos
COS
2
2
C
A
B
ような正の整数 の
*2cos
2
2
COS
-kon 。
=4cos
A
g cos cos e
B
C
大)
るす人分の
"COS
2
2
2ie
