-
![]()
ABCDEFG を
か。
点を結んでで
○重要 25.
0
点から3点を
A
3,
d
f
e
3点(図
の選び方
例題
25 三角形の個数と組合わせ
・正八角形 A1A2A
・･・・・･Agの頂点を結んでできる三角形の個数を求めよ。 人
(1)の三角形で,正八角形1辺あるいは2辺を共有する三角形の個数を求め
mo, meste.../
を共有しない三角形の個数を求めよ。 ただし n ≧5 とする。
(3)
正n角形 A1A2･････ An の頂点を結んでできる三角形のうち,正n角形と辺
[類 法政大,麻布大]
基本24
-
> (1) 三角形は、同じ直線上にない3点で1つできる (前ページの検討 参照)。
(2) [1] 正八角形と1辺だけを共有する三角形
[2] 正八角形と2辺を共有する三角形→隣り合う2辺でできる。
(2) 問題 (1), (2) は(3)のヒント
(3)
(全体)-(正n角形と辺を共有する三角形)で計算。
正八角形の8つの頂点から, 3つの頂点を選んで結べば, 1
つの三角形ができるから, 求める個数は
8・7･6
3･2･1
→共有する辺の両端の点と, その辺の両隣の2点を除く点が頂点となる。
8C3=
=56 (個)
[1]正八角形と1辺だけを共有する三角形は,各辺に対 A.
し、それに対する頂点として、8つの頂点のうち,辺の両端
および両隣の2頂点以外の頂点を選べるから,求める個数
(3)は車には直
(8-4).8=32 (個)
の総数
は
ORE
3.2.1n(n-4)-n
21
(2)
=n(n-4) (n −5) (13)
A2
A4
As
は
[2]正八角形と2辺を共有する三角形は,隣り合う2辺で 頂点1つに三角形が1つ対
できる三角形であるから, 8個ある。
応する。
りずつ
よって、求める個数は
32+8=40 (個)
(3) 正n角形の頂点を結んでできる三角形は,全部で nC3個あ
る。そのうち,正n角形と1辺だけを共有する三角形は
n≧5のとき n(n-4) 個あり,2辺を共有する三角形はn 個
あるから,正n角形と辺を共有しない三角形の個数は
(*),C3-n(n-4)-n=
n(n-1)(n—2) ___(8)
A7
A6
335
(*) (三角形の総数(
- (1辺だけを共有するもの)
2辺を共有するもの)
-{(n-1)(n-2)/
== {(
法6(n-4)-6}
5) (1)&& JES=1_n(n²_9n+20)
5), B(8, 9), C(6.
25 点3つからできる三角形の総数は 個,Fの頂点4つからできる四角形の総
円に内接する五角形F (74)の対角線の総数は本である。また,Fの頂
数は
1個である。更に,対角線のうちのどの3本をとってもFの頂点以外の
同一点で交わらないとすると、F の対角線の交点のうち,Fの内部で交わるもの
[同志社大]
p.353 EX21
1個である。
1章
5
組合せ
