マーカーの部分で、なぜ-1/n+1するのか分かりません。 解説をお願いします🙇‍♂️

基本 例題 125 2通りの部分和 S2n-1, S2 の利用 無限級数 1- 計1 3 3 211 00000 12+12-1+1+1 ①について (1) 級数①の初項から第n項までの部分和を S” とするとき, S2n-1, Szm をそれ ぞれ求めよ。 (2) 級数①の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 指針 (1) S2m-1 が求めやすい。 S2n は S2n=S2n-1+(第2項) として求める。 基本124 (2) 前ページの基本例題124と異なり, ここでは( )がついていないことに注意。 このようなタイプのものでは, S, を1通りに表すことが困難で, (1) のように, San-1, S2n の場合に分けて調べる。 そして、次のことを利用する。 [1] limS2n-1= lim2=Sならば limS=S →∞ 818 CO2-2 DEC (C)( {S} は発散 [2] lim S27-1≠lim S2 ならば n1o n18 →∞ 4 15 無 限 級 なる。 数 THE 解答 (1) n S-1-1-1/21+1/-/3/3+/-/1/1/1/-1+1 =1-(12-12)(1/3-13)-(2-1) =1 1218 81U limSzn-1=1, limS2n=lim1- 1218 limS=1 n→∞ =1 n+1 1 1 Sin S2n-1- =1- n+1 n+1 (2)(1)から よって したがって,無限級数①は収束してその和は1 にも 「部分和 (有限個の和)なら ( )でくくってよい。 [参考] 無限級数が収束すれば, その級数を, 順序を変えずに 任意に( )でくくった無限級 数は、もとの級数と同じ和に 収束することが知られている。 12.

(1)(2)は両方とも無限級数の和を求めているのに、使う公式が違うのはなぜですか？

② 124(1) 2(-1/2)+3(1)^''} 練習 次の無限級数の収束,発散について調べ、収束すればその和を求めよ。 (2) (1-2)+(+)+(-3)+... 22 2\n1 3 n=1 (1) 2(-1/2)'は初項 2,公比 - 12/23 の無限等比級数 n=1 23(-1)*'は初項 3.公比 1/12 の無限等比級数 ←無限等比級数 88 4 arn-1 の収束条件は で,公比の絶対値が1より小さいから,これらの無限等比級数 はともに収束する。 n=1 α = 0 または |r|<1 8 また, an, b がと ゆえに与えられた無限級数は収束して、 その和は n=1 n=1 もに収束するとき 2 3 (与式)= 6 + 1 3 ・+ +4= = (2)1 5 (2) 初項から第n項までの部分和を Sm とすると S=(1-2)+(1/2+1/2)+(12/28-1/23) ++{2 -(1+1/+12/2/2/11)-211-1+1/23++(-1/2) n n なので,左のように順序 1-(1/2) 1-(-1/2)利用範囲を変えて計算してよい。 3 = -2・・ 1 1- 2 1-(-1/2) 3 = limS,=21-12/31=1212J ←初項 α,公比rの等比 数列の初項から第n項ま での和は,r=1のとき よって ・1= n→∞ ゆえに,与えられた無限級数は収束して、その和は1/2 (2)22) 2 a(1-r") 1-r 26 5 (初項) 1-(公)= 00 Σ(an+bn) (an+0円) n=1 8 ant20円 2・(-1)^-1 2n- 3n-1 ←s.は有職の頭の和 ()

(1) 解答を見て理解できたんですけど、自分の答えがどこから間違っているのか分からないので指摘をお願いします🙇‍♀️

197 小球と床との繰り返し衝突■なめらか で水平な床上の点0から, 水平面から0の角 7. 運動量の保存 95 との1回目の衝突をし, 再び放物運動をした 後,点 Q2 で 2回目の衝突をした。 その後, 度に小球を速 vo で投げ上げた。 点 Q.si 1.sico Ve Vocoso 小球は床と衝突を繰り返し,点Rを通過して以降, はねかえらずに床の上をすべり出し た。小球と床との間の反発係数を ex<1),重力加速度の大きさをgとして、次の各問に 答えよ。 L₁ QL2Q2 R (1) 点から Q1 に達するまでの時間はいくらか。 (2)点とQ の距離 L, はいくらか。 0 bis (3)QQ2の距離 L2はいくらか。 またはいくらか。 L1 (4) 点OとRの距離Lを, vo, 0, g, e を用いて表せ。 (大阪工業大改) 例題15) やや [m) 転員(6) の主 y A JA

積分法の問題を教えて頂きたいです。（2）でx=1の時（1）の和を微分したものではなかったのでxが1出ない時の計算も和を微分しては行けないのではないかと思ったのですがなぜ微分できるとわかったのでしょうか？教えて頂きたいです。

G EX √ (1) 和 1+x+x2+・・・+x” を求めよ。 ⑨ 117 (2) (1) で求めた結果をxで微分することにより,和1+2x+3x2+...... n ・・+nx"-1 を求めよ。 n (3)(2)の結果を用いて, 無限級数の和を求めよ。 ただし, lim=0であることを用い てよい。 n=1 2n 2n [類 東北学院大 ] (1)x≠1のとき,求める和は初項1,公比xの等比数列の初項か ←公比≠1.公比=1で場 合分け。 ら第n+1項までの和であるから 1+x+x2+······+x=. 1-xn+1 1-x ① ← x=1のとき 1+x+x2+......+x"=n+1 (2)x=1のとき、 ①の両辺をxで微分するとI- 1+2+3x²+....+nx" n-1 -(n+1)x"(1-x)-(1-x"+1)・(−1) (初項){1-(公比)項数} 1-(公) ←1x(n+1) ←(x)' 0-1 ・(-1)(*)←(%)=o_ur (1-x)2 よって 1+2x+3x2+......+nx" _n-1= nxn+1−(n+1)x +1 (1-x)2 ② ←)の右辺の分子を整 x=1のとき 1+2x+3x2+ +nxn-1 理。 (x)=(x) 1 (笑)=1+2+3+･･･ •+n=⋅ 2 (+1) n(n+1)(x)(x)= (3)x=1/2 ②の両辺に代入すると =(x) n 比部分は 2 3 n 1+ + +…+ = 2 22 2n-1 2n+1 2n k n n+1 両辺を2で割ると IM = k=1 ゆえに = 2(12/2 nk n . よってm=lim k=12k こ k=12k 8 2n+1 n 1 - 2n 2n 2n n ****lim-lim2(+1) n=12n n→∞ =2 20 2" 2+1) n 01 n+1 +1)*(- n=1 27 12 であることに注目し (x)0 2 x=1/2 を代入。 nk ←部分を求めた k=12k - +1 n = ことになる。 0= 22" D +2(-0-0-0+1)

72の（2）がわかりません 教えてください🙇‍♀️

次の無限級数の和を求めよ。 72 n *(1) 】 n=113 n COS Nπ n T sin 2/2 (2)(-1/2)"s 3

60の（4）わかりません 教えてください🙇‍♀️

☑ 60 次の無限等比級数の収束, 発散を調べ,収束するときはその和を求めよ。 ●教 p.43 例を 6 「 1 *(1) 1+2+4+･･････ *(2) 1-12 + 4 (3) 12+6√2+6 + •••••• *(4) -2+2-2+...... *

56の（ 1）がわかりません。 解答では一般項が a n＝ nで♾️が答えとなっていましたが、 一般項は 1じゃないですか？

また n-1 n≧2のとき an=a+22″=1+ k=1 数列{bm} は, 初項 2,公比2の等比数列であるから,一般項は 2(2n-1-1) 2-1 初項α, 公比の無 bn=2" =2"-1 無限級数の性質 無限級数a, α =1であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。 (2) liman=lim (2"-1)=∞ 啓 818 圈 an=2"-1 1. 2ka=kSt * 55 ☑ {a}について,次の問いに答えよ。 a=0, a2=4, an+2=6an1-5an (n=1,2,3, ...) で定められる数列 4 無限級数の収束 1. 無限級数24 2. 数列{a} が 注 2は1の対 (1) 数列 {a} の一般項を求めよ。 (2) 数列{a} の極限を求めよ。 56 次の条件で定められる数列{an} の極限を求めよ。 (1) a1=1, a2=2, an+2+an=2an+1 (n=1, 2, 3, .....) *(2) a1=0, a2=1,34n+2-54n+1+2an=0 (n=1,2, 3, ......) EC問題 570 のとき,自然数nについて,不等式(1+h)"≧1nh+n(n-1) 成り立つ。このことを用いて, 数列 {2} の極限を求めよ。 n 2 58 次の無限 *(1) 21- 2.5 hが * (2) 1. *(3) 1 (4) -

赤線部分がどこから来たのか分かりません🙇🏻‍♀️

S=k(k-1)= n(n+1)(2n+1)_n(n+1) k=1 1 = = (n-1)n(n+1) 6 S .0 1 ==n(n+1)(2n+1-3) + 1) = 6 2 Sit St 0 1994

マーカーを引いた部分はどこから求めているのでしょうか？

66 重要 例題 34 無限級数 Σnr” 次の(1),(2)が成り立つことを示せ。 n=12 (2)=2 A (1)lim=0 →∞ 重要 20. 数学日基本と (類工学院) E CHART & SOLUTION (1) 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 二項定理を用いて,をはさみうちにする (重要例題 20 を参照)。 (2) 無限級数nr” S-rS を作る(rは公比) まず部分和 S を求め, n→∞ の極限をとる。 VOTLAS ERCIS 25 次の無限 (1) 26 次の無 (1) 27 1個 A, 部分和 S= 1k-1 k=1.2k k=12 解答 (1) n≧2 のとき,二項定理により 2"=(1+1)"=1+n+ n(n-1) n(n−1) ·+....... 2 2 よって<< n-1 2 Co.1" nCi•17~1.1 28 2・1"-2.12 + ... ASC2.1"-2.12 (2) ここで, lim -= 0 であるから non-1 1 2 3 取 n lim=0 はさみうちの原理 2 noo 2 n Sn == 2+22+23 とすると 2n 1S= ++ 1 2 n-1 n 23 + + 2n 2n+1 Sn よって S-1/2-1/2 1 1 1 22 23 + + +....+ n 2n 2n+1 の部分は,初項 - 1- ゆえに 1 -(1/2)^ d n 22 2n+1 =1- 1- 1 n 2" 2n+1 2' 公比 1/2項数々の等比 2 数列の和。 =limSn=lim 222-lims.= lim (2-211-272/17)=2 n したがって n=1 n→∞ n→∞ n (1)の結果を利用。 PRACTICE 34° 0<x<1 に対して, 11th とおくと>0である。二項定理を用いて, x 1n(n-1)n(n≧2) が示されるから, limnx"=アである た

(2)の解説のところの2行目のSnの式で残る項と消える項が全然分からないです！見分け方とかあったら教えてください🙏

(2) an= 1 √n+√n+2 (n+2)-n n+2=1/2(n+2-√五分母分子に √n+2-√n を掛ける。 ゆえに S=(√3-√1)+(√√2) +....... +(n+1)+(n+2)} <消し合う項・残る項に注 =1/12 -(√n+1+√n+2-1-√2 ) よって limSn=8 n→∞ ゆえに、この無限級数は発散する。 意。 818 【lim√n+1=8, lim√n+2=∞ n→∞