なぜここでは2通りで場合分けするのですか？

|整数nの平方が3の倍数ならば, nは3の倍数であることを証明せよ。 対偶を考えるとき, 「nが3の倍数でない」 ということを,どのような式で表すかがポイ。 基本 例題56 対偶を利用した証明 (1) 整数nの平方が3の倍数ならば, n は3の倍数であることを証明せト OO00 で面倒である。そこで, 対偶を利用した(間接)証明 を考える。 対偶を考えるとき,「nが3の倍数でない」ということを, どのような式で表すかがさ。 トとなるが,これは次のように表す(検討参照)。 n=3k+1[3 で割った余りが1], なお,命題を証明するのに, 仮定から出発して順に正しい推論を進め,結論を導く証。 を直接証明法 という。 これに対して, 背理法や対偶を利用する証明のように,仮定か 間接的に結論を導く証明法を間接証明法 という。 n=3k+2 [3 で割った余りが2] 解答 与えられた命題の対偶は ロ 「nが3の倍数でないならば, n°は3の倍数でない」 である。 nが3の倍数でないとき, kを整数として, ○直接がだめなら間接で 対偶の利用 (p.99 の検討も参照。) る のトお合S n=3k+1 または n=3k+2 るさケ焼 ( と表される。 [1] n=3k+1のとき n°=(3k+1)=9k°+6k+1 =3(3k°+2k)+1 3k+2kは整数であるから, n' は3の倍数ではない。 O ケ 43×(整数)+1の形の数に 3で割った余りが1の数 | 3の倍数ではない。 [2] n=3k+2のとき n°=(3k+2)=9k°+12k+4 =3(3k°+4k+1)+1 3k2+4k+1 は整数であるから, n'は3の倍数ではない。 [1], [2] により, 対偶が真である。 したがって,与えられた命題も真である。 Kpl 検討)整数の表し方

118（1）で　［1］［2］どちらも必ず使わないといけないですか？

え方 背理法を利用して証明する。 まず, bキ0 と仮定する。 16 を証明せよ。 a+by3 =0=→ a=b=0 C S=- a 答 6キ0 と仮定すると 6 は有理数であるから,この等式はV3 が無理数であることに矛盾する。 と良 b=0 a よって a+0./3 =0 から したがって,命題は真である。 6=0 のとき a=0 終 117 背理法を利用して,次のことを証明せよ。 (1) aが正の無理数ならば, Va は無理数である。 (2) V6 が無理数ならば, V3-V2 は無理数である。 *118 (1) nは整数とする。次の命題を証明せよ。 n?が3の倍数ならば, nは3の倍数である。 RS →教 p.63 研究 (2) 背理法を利用して, V3 が無理数であることを証明せよ。 19 a, bは有理数とする。 /6 が無理数であることを用いて, 次の命題を証明 せよ。 2a+/36=0→a=b=0 (1) (3+2/3)カー(2-/3)q+1-4/3 =0 V3-1 =1 V3 18ト(2)(1)の結用も利田する。 2a+/66=0

解説に丸をつけた部分でkを二以上とするのはなぜですか？

任意の自然数nに対し, 28n +5 と 21n+4は互いに素であることを 自然数a, 6, c, dに2=ニ+dの関係があるとき,aとcが互い、 a a 素であれば,aとbも互いに素であることを証明せよ。 任意の自然数nに対し, 28n+5と 21n+4は互いに素であるこ」、 E明せよ。

(2)の問題で背理法を使うのですが、「互いに素である」ことを証明するのなら「互いに素でない」と仮定するのではないのですか？

2つの数列{an}, {bn}は, ai=Dbi=1および関係式 an+1= 2anbm bn+1= 2a,?+ b,? をみたすものとする。このとき次の問いに答えよ。 口(1) n23のとき, an は3で割り切れるが、b,は3で割り切れないことを示せ。 口(2) n22のとき, anと bmは互いに素であることを示せ。 ('06 九州大·医,歯,薬, 工, 理,農, 経済,芸術工(前期))

なぜここで自然数の素数を使うのかが分かりません。 教えて頂きたいです。

(2) V3 が無理数でないと仮定すると, V3 は有理 数であるから,1以外に正の公約数をもたない2 つの自然数 m, nを用いて V3 = m の の ニ n と表すことができる。 さよケ [=xxx CIV3 n=Dm 3n?=m? このとき 両辺を2乗すると よって, m?は3の倍数である。 (1) により, m? が3の倍数ならば, mも3の倍 数である。 mは, ある自然数kを用いてm=3k と表される から,① に代入して 3n?=9k?すなわち n°=3k? よって, n?は3の倍数となり, (1) により, nも 3の倍数となる。これは, m とnが1以外に正 の公約数をもたないことに矛盾する。 したがって, V3 は無理数である。 ( ) の TIT 0) Vs)3DS-S 2 *7

（2）の解説では a.b.cの一つが2の場合のみを考えていますが、a.b.cのうち二つまたは全てが2の時は考えなくて良いのですか？

54.〈ビタゴラス数に関する証明〉 正の整数の組(a, b, c)が次の式を満たすとする。 a+が=c (1) a、6, cのうち少なくとも1つは偶数であることを示せ。 (2) a, b, cのうちに素数ではないものがあることを示せ。 [18 東北大、経(後期"

なぜpは素数なのですか？

(2) a+bとabが互いに素であるとき, aと6も互いに素である。 (1) aとbが互いに素であるとき, a+bと abも互いに素である。 より、その命題が正しいことを証正明する方法」である、(p.271「命題と証明」 a, bを自然数とするとき, 次 方例題 241 と同じ考え方で証明できるが、 ここでは背理法を用いてみよう 「ある命題に対して, その命題が成り立たないと仮定し、矛盾が生じることがに より、その命題が正しいことを証明する方法」である。(p.271 「命題と証明、 (1) a+bと abが互いに素でないと仮定すると, a+6, abはある素数かを約数にもつから, a+b=pk ……① ab=pl ……② (k, lは整数) とおける。 このとき,2より,かはaまたはbの約数となる。 したがって,かはaの約数とすると, a=pm (mは整数) とおける。 これを①に代入すると, pm+b= pk したがって, b=pか(k-m) となり, かはもの約数と かは素数 Cは9 も一般性 くかはaの 大盛 い。 なる。 すなわち, かはaともの公約数となり, カキ1 より, aともが互いに素であることに矛盾する. かは6の約数としても, 同様に矛盾する。 よって、土éと «bは互いに素である。

数学Ⅰ の命題と論証 のプリントです。14番と15番の答えが分からないので教えてください！

14. n? が8の倍数でない ならば n は4の倍数でないことを証明せよ。(p63) 15.半径3の円の面積が無理数であることを証明せよ。πが無理数であることを用いて良いとする。(p64) 以下の自

初めの3x乗=5〜という文は書かないといけませんか？

演習 例題186 指数方程式の有理数解 (2) 3*5-2V=5*3"-6 を満たす有理数 x, yを求めよ。 えも多く と大 いう。 基本 167 指針>実数において, ものを 無理数 という。 1)、無理数であることの証明では,有理数であると仮定して,矛盾を導く(背理法)。 12)方程式1つに変数がx, yの2つ。有理数という条件で解くから,(1) が利用できそう。 底が3,5であるから,3"=5 [(1)] の形にはならないことを用いる。 m (m, n は整数, nキ0) と表される数を 有理数 といい, 有理数でない n 5章 13 33 grby .0 CHART 無理数であることの証明 m (有理数)とおいて, 背理法 () n 先野さ光 -1e+ 解答 (1) 3*=5 を満たすxはただ1つ存在する。 そのxが有理数であると仮定すると,3*=5>1であるから 背理法 事柄が成り立たないと仮定し て矛盾を導き,それによって m x>0で, x=ー (m, n は正の整数)と表される。 -(a事柄が成り立つとする証明法 n (数学I)。 ち 判来の」< ー1 間 0logcos.x m 3=5 s0 よって 3m=5 … 0 0<a--( [) ここで, ① の左辺は3の倍数であり, 右辺は3の倍数ではな43と5は1以外の公約数を いから,矛盾。g トって rけ有理数ではないから, 無理数である。3① 両辺をn乗すると もたない。このとき,3と 5は互いに素 という。 Hosen's3を満 抜m, nの組 12X2V-6-5*-5-2 関連発 展問題

命題と証明の背理法や、対偶を利用する問題について 教科書や4stepなどの問題集の問題（演習問題以外）は解けるのですが、例えば下の写真のような問題（教科書の演習問題）がテストで出て、その場で解ける気がしません。自分が持っている問題集で、このレベルのものは解けるだけ解きまし... Read More

x-=1を満たす自然数 x, yは存在しないことを証明せよ。