(1) nを2以上の自然数とするとき,x"-1を(x-1)?で割ったときの余りを求
【学習院大)
めよ。
S+
8-301-2-
(2) 3x100+2x°7 +1 をx°+1で割ったときの余りを求めよ。
.97
基本 53,54
指針>実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。.88~90 でも学習したように,
の 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用
303()
……… 体
(x)0 S
R の次数に注意,B=0 を考える
がポイント。
(1),(2) ともに割る式は2次式であるから, 余りは ax+b とおける。
(1) 割り算の等式を書いてx=1を代入することは思いつくが,それだけでは足りない。
そこで,次の恒等式を利用する。ただし, nは2以上の自然数,α'=1, 6=1
a"-6=(a-b)(a"-1+a"-"bta"-'6°+……+ab"-2+6"-1)
(2) x°+1=0 の解は x=±i. x3i を割り算の等式に代入して, 複素数の相等条件)
A, Bが実数のときA+Bi=0→ A=0, B=0
土(x)を利用。
解答
(1) x"-1を(x-1)で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b即解(1)二項定理の利用。
x"-13{(x-1)+1}"-1
=C,(x-1)"+…+Ca(x-1)?
とすると,次の等式が成り立つ。
xm-13(x-1)°Q(x) +ax+b6 …… ①
ス十ス)
0=a+b すなわち 6=-a
両辺にx=1を代入すると
のに代入して
=(x-1){(x-1)2+…+.C}
x"-1=(x-1)Q(x)+ax-a
+nx-n
FV2は
=(x-1){(x-1)Q(x)+a} -選因念
ゆえに,余りは nx-n
また,(x-a)°の割り算は微
分法(第6章)を利用するのも
有効である(p.305 重要例題
194など)。微分法を学習す
る時期になったら,ぜひ参照
してほしい。
ここで,x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2+ +1)であるから
xn-1+x"-2+ +13(x-1)Q(x)+a+x
この式の両辺にx=1を代入すると
n個
よって
b=-aであるから
6=-n
a=n
10-15
mえに
求める余りは
nx-n
