写像に関してです。この図はどのように書くのですか

2 「実2次正方行列 A= 1 の定める線形写像 PA: R? → R?」 について, 写 (土) 像PA による整数格子の像を図示せよ.また, 点P の写り先の点PA(P) 2 を,図中に描き込め、 さらに,写像Paは R? の表裏を「保つ」か 「裏返す」 か答えよ。

(2)の(b)の解き方が分かりません。=が成り立つのはわかるのですが、不等式となることが分かりません。 教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

[1](50 点)n×n実対称行列について考える。そのような行列の固有値は全て実数で あり,重複度を含めてn個存在することが知られている。このとき,次の小間(1)と(2) に答えよ。 (1) 次の3×3 実対称行列Aについて考える。 3 0 -1 A= 0 2 0 0 3 (a) 行列Aの固有値入,,入2, Agを計算せよ、ただし入> gとする。 (b)行列Aの各固有値入,入2,Agに対応する固有ベクトル v1, v2, V3を求めよ。 ただしv, V2, Vzは正規直交基底となるように選ぶこと、 (C) 行列Aに対し, A = P" DPを満たす3×3 実対角行列Dおよび3×3実行列Pを求 めよ。 (2) n×n実対称行列Bについて考える。ただし, n 個の固有値入」,A2,…, Anは全て異 なると仮定し,入> Az> …> An とする。 (a)各固有値入,入z,…,Anに対応する任意の固有ベクトルをv, V2,…, Vn とする。 このとき,V1,V2,…, Vnは互いに直交することを証明せよ。 (b) 任意の実ベクトルxに対して,x" Bx > Anl|||| 2が成り立つことを証明せよ。 ただし,||||はベクトルxのノルム(2 ノルム,ユークリッドノルム)を表す。

量子力学・不確定性関係についての問題です。 (6)が分かりません。(5)はhbar^2/8m(δx)^2と求めました。

II. 質量 m(> 0) の粒子の位置』,運動量pを表す演算子を,それぞれ,pとする。また,規格化 された状態)についての期待値を(z) = ()e|),(?) = (\) などと略記する.このとき, 粒子の位置eのゆらぎ 6= V(( - (e))?\$ と,運動量pのゆらぎ p= V{例(カ- (p))\) の間には、 ん 6zóp > 2 という不確定性関係がある。 (4)() と Sは,実験的にはどのように求められる量か.すなわち,どういう実験をしたとき に,その測定値からどのような式で求められる量か. (5) 運動エネルギーの期待値 のとりうる最小値を,m, óa, h で表せ、 2m (6) この粒子のハミルトニアンが,J,Kを正定数として, K 1 自=-+? 2m 2 6 で与えられるとする。基底状態のエネルギーは許される状態のうちで最小であることと, 上記の不確定性関係を用いて,基底状態の波動関数の空間的広がりの大きさ 6gを見積もれ。

励起状態になった後、混成するというのは、分かるのですがその混成した時に3p軌道の後に3d軌道が来てるのは何故ですか？遮蔽効果により3pの次は、4sでその後3dではないのですか？？

対称性の高い分子である.図8.5に示すように, 正八面体の中心に硫黄原子が 第8章 分子の形 8.1.4 sp°d°混成軌道 S ょる六フッ化硫黄 SF。について考えてみよう. SF。は正八面体型の非常に n 6個の頂点にフッ素原子が位置している.硫黄原子の基底電子配置は (2s)(2p)°(3s)(3p)", フッ素原子の基底電子配置は(1s)°(2s)°(2p)°であ るセル·モデルで表せば,以下のようになる。 1s 2s 2p 3s S 1! f! t! F 1! 1↓ S原子の基底状態では, 不対電子が2個しか存在しないので2個のF原子と しか結合できない. そこで, 結合の手を6本にするために, 1個の3s 電子と1 個の3p 電子を3d軌道に昇位させて, 次頁のような励起電子配置にする。し かし、このままでは幾何学的な構造を説明することはできない. そこで, 3s 軌道,3個の3p 軌道, 2個の 3d軌道を混成させて, sp°d° 混成軌道をつくる。 ここで,混成に参加する 3d軌道は, その方向性から考えて 3dgと 3dz-yであ る. これらの軌道は, (8.4) 式で示される等価な軌道で, 図 8.6に示すように ての方向はちょうど八面体の中心から頂点の方向に張り出した格好をしている

3次元調和振動子の問題です。(10)がわかりません。(6)〜(9)は2枚目のように考えました。

II.質量m、角振動数u(> 0) の1次元調和振動子について考える。この系の定常状態に対する シュレーディンガー方程式は以下のように与えられる: mw?2? -)(a) = Ey(z). d? 2m da? 2 この式は d d -e da 1 a= at l= V2 de mw を用いて (cla+)W) - EWe) Fwla'a と書き直せる。 (6) 基底状態のエネルギー Eと波動関数 o(x)を求めよ(規格化しなくてよい)。 (7) 第1励起状態のエネルギー Eと波動関数()を求めょ(規格化しなくてよい)。 次に3次元調和振動子を考える。この系の定常状態に対するシュレーディンガー方程式は以下 のように与えられる: (( )fャ) (2,9, 2) = E(z,y, 2). (iv) 2m 2 (8) 基底状態のエネルギーを丸,m,wのうち必要なものを用いて表せ。 (9) 第1励起状態の縮退度 Dを求めよ。 (10) 第1励起状態で L。 i ー 2 8z の固有状態であるD個の線型独立な波動関数を (vi) と書く。式(vi) の関数の具体形(規格化しなくてよい)とL。に対する固有値を求めよ。

量子力学、有限井戸型ポテンシャルの問題です。 (5)がわかりません。V_＊=π^2hbar^2/8ma^2と求めました。

以下の問I、II に答えよ。ただし、プランク定数を 2mで割った定数をんとする。 I.1次元のポテンシャル中の質量mの粒子を量子カ学的に取り扱う。粒子の座標をとし、ポテ ンシャルをV(z)とする。aと %を正の定数として、図1のように| >«の領域でV(z)= % で|<』の領域でV(z) = 0のとき、V%の値を小さくしていったところ、V%<V,のときに東 縛状態が一つだけになった。 (1) 図2のようにV% が無限大のとき、すなわち ||>aの領域でV(z) が無限大で || Saの領 域でV(a) = 0のとき、基底状態のエネルギーおよび第1励起状態のエネルギーを求めよ。 (2) 図1のポテンシャルでV%> V,のとき、基底状態の波動関数および第1励起状態の波動関 数の概形を描け。 (3) 図1のポテンシャルでV%> V。のときを考え、基底状態のエネルギーと第1励起状態のエ ネルギーをそれぞれ Eo, E, とする。このポテンシャルを、図3のように、a<0の領域で はV(z) が無限大となるように変更する。変更後の系の基底状態のエネルギー Eを Eと EEのうちの必要なものを用いて表せ。 (4) V,を求めよ。 (5) 図4のように、|2| < 3a の領域および ||> 5a の領域でV(z) = V./2で3a< ||| < 5aの領 域でV(z) = 0のとき、束縛状態の数を答えよ。厳密に導出する必要はないが、根拠を簡 潔に記すこと。またすべての束縛状態の波動関数の概形をエネルギーが小さい順に描け。 V(2) V(2) V% * E ーa 0 a ーa 0 a 図1 図2 V(2) V(x) Vo Iv./2 0 a ー5a -3a 0 3a 5a 図3 図4

大学の化学の問題です。 イオン化エネルギーを求める問題　2の（3）がわかりません。。。💦 教えてください！お願いします！！

2. 水素類似原子(電子を一つ有する原子やイオン)のエネルギー固有関数と固有値は W,8.g)=D R, ()Y. (8,g) E, %=- z'm,e* 86, で与えられる(Zは核電荷, その他の記号は参考資料を参照)。 このとき (1)(a) Yim (8, )は何と呼ばれる関数か? (b) 1s軌道の状態の固有関数はwno0である。 2p.軌道に対応する固有関数をこれにな らって示せ。 (C) 同様に3d 軌道に対応する固有関数を全て記せ。 (2) 量子数n で規定される波動関数(原子軌道)の数(縮重度)を求めよ。 (3) 上の式を用いて、基底状態のHe" をさらにイオン化してHe*を生成するのに必要なエ ネルギーをeV単位で求めよ。 (4) 多電子原子では Z を Z* で置き換えて考え、 イオン化ポテンシャルIPは me IP=E。-E, = I 8g(n と書ける。このとき、(a) Z* は何と呼ばれる量か? (b) Li, Kの最外殻電子の Z* を それぞれ1.3,2.2としたときの、 LIとKのイオン化ポテンシャルの大小を議論せよ。 3.一個の電子(質量 m)が長さLの一次元の箱の中に閉じ込められている。 この箱は次のよ うなポテンシャルエネルギー/ (x)をもつ。

なぜδ_ijがg_αβに対応するのかということと、矢印の変形がわかりません。どなたか教えてください

+g""IpBy dr dr こ0. ちなみに,この結果からわかるように,仮に T°B, が下添字について対称でないとして 重力に相当する。また,この式が一一般座標変換に対し く振る舞うことは直接計算で確認できる。 (i) ニュートンカ学における変分法の一般化 : ニュートン力学では, 自由粒子の運動 方程式を 1 .B (3.6) ·B mó A |0P dt 3D0 S1 = 6 Ldt から導くことができる。これを共変化して, dr' dri da° daB → gaB Jr dT (3.7) dt → dr, o= 6:3 dt dt と置き換えて、 da° daB dr gap dr dT B B I= LdT = (3.8) を変分してみよう。 を意味するものとして, オイラー-ラグランジュ (Euler-Lagrange) dr 以降、“.は 方程式: 0- (69) 2 OL TO =0 の(3.9) 三 dr lOi4 0g に直接代入すれば。 (9ug + gaui°) - gaB,ui°£" =0 dr 1 9ua +;(9u8,a + 9ua,B - gaB,u)ü°£° = 0 =「uaB d'a° ale g° dr2 das da? (3.10) =T° BY (3.5) 式 By D。

マーカーの部分がどうしてこのようになるのかわかりません、教えてください🙇‍♂️

(20", e,) = 6"y =0 → (Vgw", ev) + (w", Ve er) =(wH,earayB)=""vB Vgw" = -T", V3w", (2.43) この式と(2.38) 式さえあれば,一般のテンソルの微分は単にライプニッツ則を繰り返 して適用するだけで得られる。 たとえば,双対べクトルに対しては, Vgd= Vg(Un0") = Un,Bw" + Uu(-T"vgw")= (Uu,B - IT" μ8Va)w" Vu;B = Uu,8 - T"uBVa. (2.4) 同様にして,一般のテンソルに対しては,(2.29) 式のようにちゃんと基底を忘れずに つけて微分して,その後で成分だけを拾い上げれば T°1…am B1…BniY m - T*1*@m g,….18 + T&i T°1…aj-14ai+1…Qm ミ Y i=1 B1…Bn n と「"B,T1 ……&m j=1 B1…Bj-14Bj+1…Bn (2.45) が得られる。 介

大学物理 gradやポテンシャルエネルギーに関する問題です 方針だけでも教えて頂けると幸いです

問1以下の式を計算せよ。ただし、 a, b は定べクトル、 rは位置置ベクトルを表し、r,8,0はその 球座標を表す。 laxrP a.T (1) grad 3 sin0 sin の (2) grad 2 (3) grad{a- (bxr)]. (4) grad r2 問2 以下のそれぞれの F がポテンシャルUを持つかどうかを判定し、 存在する場合はUを求め よ。ただし、aは0ではない定ベクトル、 r は位置ベクトルを表し、 エ、y, 2 はそのデカルト座標、 e,ey,e. はデカルト座標の基底とする。 (1) F= (r- ye-*)e, - ze-"e,+ rye-"e., (2) F=asin(a r), (3) F=axr