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第9章
基礎問
147 不定方程式 ax+by=c の解
Lead
yを整数とする.
方程式 2x3y=7･･････ ① について,次の問いに答えよ.
(1) ①をみたす (x,y) の1組を見つけよ
(1)(x,y) を (α, β) とするとき, 2α-3β=7. ②が成り
たつ
①,②を利用して,r-αは3の倍数で,y-β は2の倍数で
なあることを示せ .
(3) ①をみたす (x, y) をすべて求めよ.
(4) ①をみたす (x, y) に対して, r'-y2 の最小値とそのときの
x, yの値を求めよ.
|精講
ax+by=c(a,b,c は整数でαとは互いに素)をみたす (x, y)
を求めるとき,この基礎問の(1)~(3)の手順に従います。
(1) 未知数2つ, 式1つですから, (x, y) は1つに決まりません.
すなわち,たくさんあるということです. その中から、何でもいいから1組
見つけなさいということです.
(2)x-a や y-β をつくるためには,①-②をつくるしかありません.J
(3) -αは3の倍数だから, x-α=3n (n: 整数) とおけます.
もちろん,(α,B) は(1)で決めた値です.
(4)(3), x,yを1変数nで表しているので,x-y' もんで表せます.
(1)x=2,y=-1 とすると,
2x-3y=2・2-3・(-1)=7
よって、 ①をみたす (x, y) の1組は (2,-1)
注 このほかにも(x,y)=(5, 1), -1, -3) などがあります。
(2)
2x-3y=7. ①
2a-3β=7... ②
①-②より2(エーα)=3(y-B)
