例題 73
解の存在範囲(5)
****
2次方程式 x-2ax+4a-9=0 の異なる2つの実数解のうち, ただ1
つが0<x<4の範囲にあるような定数αの値の範囲を求めよ.
考え方 0<x<4の範囲にただ1つの解がある場合とは、次の①~④の場合である。
①②はf(0), f (4) 異符号の場合であるから,
f(0).f(4)<0
①
(2)
③④はそれぞれ f(0)=0,f(4)=0 のときであるが,このとき ⑤ ⑥の場合も考
えられる.しかし,⑤,⑥は0<x<4の範囲に解をもたないので、注意が必要である.
第2章
⑥
解答
x
48
x
x
48
04
0 4
0
4
0
4
y=f(x)=x2-2ax+4a-9 とおく.
(i) f(0).f(4)< 0 のとき
7 9
したがって,
a4
(4a-9)(-4a+7) <0
(4a-9) (4a-7)>0
<a
(ii) f(0)=0 のとき, 4α-9=0 より
このとき,f(x)=0 の解は,
x2.2x+4.0-9=0より、
9
a=-
x=0.02
9
0,
2
f(x)=0 は 0<x<4 に解をもたないから, a=-
は不適.
(ii) f(4)=0 のとき, -4a+7=0 より a=
74
9-4
04
x
04
x
-4a+7=-(4a-7)
不等号の向きが変わ
る.
(ii) f(0)=0 のときは,
③ではなく⑤の場
合になるので不適
である.
(Ⅲ) f(4)=0 のときは,
④ ではなく ⑥の場
このとき,f(x) = 0 の解は,
x-2.7x+4・7-9=0 より
x=-
4
合になっている.
7
f(x)=0 は 0<x<4 に解をもたないから,a=7
は不適.
よって、(1)~()より、求める範囲はa<7 / <a
よって、(i)~ (ii)より, 求める範囲は,
Focus
解αがp <α <g のときは, f(p), f(g) の符号を調べる
