40 第1章 数列の極限
29
+I
(1) 不等式
ことを示せ .
(2) > 22 +1
21 +1(n=2,3,･･・)が成り立つことを証明し,
1
無限級数 1+1/2 3
(1) kは自然数であるから,
k+1>k より
k>0 より,
√k+1
k
また, kが自然数より,
であるから,
1
√k+1+√k
したがって, ①,②より,
√k+1 √k
k
k
ここで,
1
n=¹√√n+1+√√n
1
√k+1+√k
=√n+1−1
したがって,
n=1√√n+1+√√n
√2+1
よって, ③, ④より,
jvn+1
n=1 n
(2) n≧2 のとき,
=1+
+...... +
1
√k
kは自然数)が成り立つことを証明し、2
の部分和 S は,
S₂=(√2-1)+(√3-√√2)+(√4¬√3) +….....
2 3
+
2
√k+1 >√k
√k
k
14
=1+2
1 1
2
1 -=limS"=lim(√n+1−1)
11-0
√k+1+√k >√k>0
>1+
1+1/1/2+(1/+1/1)
1
+······ は発散することを示せ,030-100
n
√k+1+√k
√k+1-√√√k
(k+1)-k
= √k+1=√k //
11-00
=8 ......④
-=∞ となり、 発散する.
√k
-X2+
= 2+1
したがって, n≧2のとき
+...
+1)+(1/
...... ②
+ +
5
X
......+(n+1-√n)
X4
1 1
6 7
+
8
1
2"-¹+1
1 1 1
+ + +
8 8 8 8
+......+
2"
2"X2"-1
+
√√n+1
n
2"
が発散する
1
=店より、
LE-
きる.
より、一般項が
vn+1
より小さく,正の無
n
限大に発散する無限級数とし
例題29 (本編 p.76) と同
1
が利用で
==1₂√√n+1+√√n
追い出しの原理
0.18-0.0072
|第2'' +1項から第2項まで
で区切って考える。
|2"-2" '=(2-1)2"-1
より 2個である.
がn個
