数学です。 (2)の無理数の相等を用いたこの回答は正しいですか？（三乗根4が無理数であることは別できちんと証明するとします。）

01反 が無里教できることを ミ正日明でよ。。 (21 P(x) は有理数を係数とする ta多環式で、 P(El= 0 を満たしている。 (-2 で割き木ることを証明せよ 5が有理教でをると4仮定し、 こaてま PCIは、 (未都八) 里法により 示す。.. 4. a ta.Aは自然、数, athは互にた素」 とおく。 5.a- メ よ1. 4は20倍数でするかう a? - 483. 両aを3年して. 20= タ3. (Bは自然、約」 20°-8B° *2>、つ、 aも2a信数であるが、これは ars が互いに基であるという仮念に寄信。 タ: 2B よ7、 したがって.3匹は無理数久でなる PM = (2-21: Qlnl t (0xピ+タメセc) (Omlは、有理教体数の多項式, a,8,cは有理数の定数1 0 = a-(3E + タ.阪てC. で、(5 から. 3件も.近と同様にして無理数であるので. 無理数へ相等よリ (21 ておく。 年件ど a+Ae 0 -また、 ①a両辺に何をかけて、 同祥に、無理教の相等がら、Q=0,A=0. C= 0 0 = 20+E (たがって、 a=メニC=0 となり、Pいlは. ル?ー2で雲りりきみO3OSE-LEAF ノ-836B 6mmnuled×3. KOKRYO

マーカー部分の変形が分かりません

重要 例題246/面積の相等 曲線ソ=x-6x2+9x と直線y=1mX で囲まれた2つの図形の商 ような定数 mの値を求めよ。 ただし, 0<m<9とする。 指針> 右の図のように, 曲線y=f(x) と直線y3g(x) で囲まれる2つ の図形の面積について, Si=S2であるとき Si-S:=0 である。 S-S=(x) -(x))dx-flo(x)-f(x)dx -S)-(x) dx+S°r(x)-日(x)dx -Sv-) ゆえに S'ura-oca)da=0 ゆえに (x)-g(x)}dx=0 ここで、交点のx座標のうち,真ん中のyは求めなくてもよい(または使わないこれ 解答 曲線と直線の交点のx座標は, xー6x°+9x=mx を解くと x(x-3)=mx から 0<m<9であるから ここで,3-Vm =α, 3+Vm=Bとおくと 2つの図形の面積が等しくなるための条件は x{(x-3)-m}=0 x=0, 3±Vm 0<α<B ((x°-6x°+9x)-mx}dx=\ {mx-(x°-6x°+9x)}dx B 1a a よって -6x"+(9-m)x]dx-[-パ(xー6x°+(9-m)x1g=0 I20のYさそれが たが イ 3

なぜK＝1の時丸1丸2は同じくa"+a+1=0になるんですか

重要例題40 係数に虚数を含む2次方程式 「類専修 F めよ。ただし,=-1とする。 C 基本35 223 次 (1 iについて整理して (α"+ka+1)+(α°+α+k)i=0 ここで,複素数の相等条件 A, Bが実数のとき A+Bi=0<→ A=t, R-o を利用する。 G 24 解答 方程式の実数解をx=αとすると 25 iについて整理すると (c+ka+1)+(α+a+k)i=0 D+ka+1, c。+a+kは実数であるから 0, α+α+k=0 A, Bが実数のとき a2+ka+1=0 A+Bi=0 (k-1)α+1-k=0 326 の-のから よって(k-1)(a-1)=0 [1] k=1のとき, ①, ② はともに 判別式をDとすると D<0であるから, αは虚数解となり,条件に適さない。 [2] α=1のとき, ② から k=-2 →A=0, B=0 ゆえに k=1 または α=1 α+a+1=0 D=1?-4-1·1=-3 実数 αに対して 27 これは①も満たす。 であることから,示して よい。 したがって k=-2 別解 [O, ② を導くところまでは同じ] ②から Oに代入して整理すると k=-α-a… 3 -1=0 (α-1)(α+α+1)=0 aは実数であるから a+a+1=(α+- +>0 くこれは,高次方程式(a0 次方程式)。 ゆえに 高次方程式の解法は, @28 以後を参照。 (3 よって α-1=0 すなわち α=1 このとき,3 から k=-2 検討) 判別式が使える条件 2次方程式 ax+bx+c=0の解の種類を判別するときは, 判別式 D=6-4acを利用して るが,そのとき, 係数 a, b, cが実数であるという条件を忘れてはいけない。 例えば,方程式 ix+x=0 に対し, 判別式を適用するとD=1°-4·i-0=1>0であり, 異な つの実数解をもつことになる。 しかし, 方程式を解くとx=0, iであり, 実数解と虚数解を 練習 kを実数の定数, i=-1 を虚数単位とする A0

赤（　）のところがなんでこうなるのか分かりません。 説明お願いします

) a=(-1, -2, 1), b=(2, 1, 1)のとき, 内積 a-5, および,aとものなす角0を求めよ。 (2)右の図のような直方体において, AB=AE=1, 2 空間のベクトルの成分と内積 671 と D V3 C B (ア) AB·EG 2つのベクトルの始点を合わせて,なす角 が何度か考える。 次の三角形に着目する。 (ア) AEFG H G (イ) AB·FH (ウ))AB-EC E F G H の相等 考え方 2 (イ) △EFH (ウ) ACEF 2 V3 V3 V5 第10 E-1/F E-1 Fe /F : b2, (1) a-6=(-1)×2+(-2)×1+1×1=-3 す 5=、2°+1+1°=V6 -3 1 より, COs 0= a 6/6 2 よって,0°S0<180°より, (2)(ア) AB とEG のなす角は 60°, |EG|=2 より, には、 ケな30 AB·EG=|AB||EG|cos 60°=1×2× 落 (イ) AB と FH のなす角は120°, |FH|=2 より, 0=120°-50- AB=EF より、 AB と EG のなす角 はEF とEGのなす 角と同じ ララ 1 中 os 120"=1×2×(-)=-1 EG=P+(/3 AB-FH=|AB||FH H (ウ) AB-EC=|AB||EC|cos Z CEF お EC|=1?+1°+(/3)=5 120° ーう0 ド A B EF 1 直方体の対角線 三 COSZCEF= CE V5 よって、 AB-EC-1×、5×-テ1 5 注》(2)については, 次のように始点をそろえて考えてもよい。 (ア) EG=AB+AD より, AB·EG=AB·(AB+AD)=|ABF+AB-AD=1 (1) FH=AD-AB より, AB-FH=AB-(AD-AB)=AB-AD-IABP=-1 (ウ) EC=AB+AD-AE より, AB-EC=AB-(AB+AD-AE)=|ABP+AB·AD-AB-AE=1

青チャ 例題48 (1)の問題についてです (1)の解答の最後から2行目にある ｢また、3∈Bであるが A∌3｣ を示す理由がわかりません 優しい方教えてください🙏

83 重要 例題 48 集合の包含関係 相等の証明 OOOO0 Zを整数全体の集合とするとき, 次のことを証明せよ。 (1) A={4n+1|nEZ}, B={2n+1|nEZ}であるとき ACBかつAキB (2) A={5n+2|nEZ}, B={(5n-3|nEZ}であるとき A=B p.76 基本事項 ] 2 指針>(1), (2)とも要素が無数にあり,すべてを書き出すことができない。このようなときは, 次 のことを利用して証明する。 「ACB」→「xEA ならば rEB」 「A=B」→「ACB かつ BCA」 解答 (1) xEA とすると,x=4n+1 (nは整数)と書くことができる。 このとき x=2(2n)+1 ×EBを示すために, 2×(整数)+1の形にする。 2n=m とおくと, mは整数で B x-2m+1 ゆえに xEB 3 4×EAならばXEBが示さ よって ACB れた。 また,3EBであるが 3年A したがって AキB (2) xEAとすると,x=5n+2(nは整数)と書くことができる。 r=5(n+1)-3 今由 このとキ ×EBを示すために、

《急募》 直角三角形の合同という単元からです。 仮定は全て集まっているのですが、これが一辺両端角相等なのか、2辺夾角相等なのか…3辺相等なのか…。 分かりません。 解く時に補助線を引っ張っています。B-Dです。 宜しくお願いします。

章 ロ251 右の図において, ZBAD=90°. ZBCD=90°, AB=CB である。 このとき,AD=CD であることを証明しなさい。 コ252 右の図の △ABC において, 辺BCの中点をMとし, Mから

赤の線で引いているところの式はどこから出てきたのでしょうか？教えてください🙏

2つの複素数 a,Bについて, (1) af = a B B Q CAction 複素数の相等は,実部と虚部をそれぞれ比較せよ 例題22 目標の言い換え a=a+bi, B=c+di (a, b, C, dは実数)とおく。 (1)(左辺) = = (右辺)= aB =. a+B) =O+△i を示す。 =O+△i) ((a+ Bの虚部)=0 = l(aBの虚部)= 0 (2) (りがともに実数 開a=a+bi, B=c+di (a, 6, c, d は実数)とおくと a =a-bi, B=c-di 左辺 aB をa, b。 (1) aB = (a+bi)(c+ di) = ac+ adi + bci + bdi? で表す。 三 = (ac- bd)+ (ad + bc)i aB = (ac- bd)- (ad + bc)i 1bdi? =-bd よって 一方 aB= (a-bi)(c-di) = ac- adi - bci + bdi? 右辺aBをa, で表す。 = (ac - bd)-(ad+ bc)i したがって B = aB (2) α+B= (a+c)+(b+d)i これが実数であるから,b+d=0 より d=-b…0 aB = (ac- bd)+(ad + bc)i これが実数であるから のを2に代入すると 複素数 z=a+ て 2が実数 また ad + bc = 0 *2 6(c-a) = 0 aは虚数であるから,bキ0より 0, 3より a=で 3 「複素数 a=c いて aが虚数- R=c+di = a-bi= a+bi = a すなわち B=a

赤の線で囲ってあるところの途中式を教えてください。また黄色の線のところは2x²－1≠0でもいいのでしょうか？

2=iを満たす複素数 zを求めよ。 (@Action 複素数の相等は, 実部と虚部をそれぞれ比較せよ 例題 22 左辺の2°をO+Aiの形にできれば, 例題 22のように考えられる。 未知のものを文字でおく 2=x+yi (x, yは実数)とおく。 →(x+yi)° = iより Action》方程式 2'=(複素数)の解は, z=x+yi (x, yは実数)とおけ li=D0+1·i 開2=x+yi (x, yは実数)とおく。 =i に代入すると これを整理すると (x+ yi)? = i (x°-y°)+2xyi =i , vは実数であるから,x-y, 2xy も実数である。 2 12 = (x+ yi)° = (x°-y°)+2xyi 「ーy= 0 (2.xy = 1 「複素数の相等 (ー)+2xyi =0+1·i よって 0 2より,xキ0であるから y= 9 40より (xーy)(x+y) = 0 よって x = y, x=-y これと2を連立して解 いてもよい。 2 1 0に代入すると 4x-1= 0 (2x°+ 1)(2x-I)=0 rは実数より 2x°+1キ0 であるから すなわち 2x°-1= 0 1 *2x°-1=0 より x= V2 x=+ 2 1 V2 よって x=土 土 2 (2 のとき y= (2 ーの形で 3に代入すると,x= 「x= ± 2 |2 のとき y= 2 (2 1 リミ に代入するとよ x= 2x い。 (2 2 2 2 したがって 2= 2 2 2 2 *解は2つある。 SNロセス

赤の線で引いているところは何故実数解であると分かるのでしょうか？教えてください🙏

係数に虚数を含 題 30 例 2次方程式 xーix=0 は,x(x-i) = 0 より D=(-i} = -1<0 x= 0, i 実数解 一 ところが 未知のものを文字でおく 実数解をaとおくと →ロ+口i=0 の形になる。 (1+i)q°+(k+3i)a+6+2ki = 0 II 0 Action》 虚数係数の方程式の実数解は,複素数の相等を用いよ 4与えられた に虚数を含 式は使えない 方程式に代 I 0 この方程式の実数解をaとおくと (1+i)+(k+3i)a+6+2ki = 0 (a+ ka+6)+(α°+ 3«+2k)i = 0 k, aは実数より,α+ ka+6, a°+3a+2k も実数である [a+ ka+6= 0 …の から …2 la+ 3a+2k = 0 (k-3)a+6-2k =0 (k-3) (a-2) = 0 0-2より よって k=3 または a=2 7) k=3のとき 0より+3a+6=0 となるが,この方程式は実数解 をもたないから,不適。 4) a=2のとき 0より(2k+10 = 0 となり このとき、与えられた方程式は (1+)+(-5+3)x+6-10i = 0 (-5x+6)+(x°+3x-10)i = 0 (x-2)(x-3) +(x-2)(x+5)i = 0 (x-2){(x-3) +(x+5)i} = 0 判別式を D=3°- 4a=2 は k= -5 この方科 解にも一 x-2を の節で学 と組立に 分解して (x-2){(1+i)x-3+5} = 0 よって x= 2, 3-5i 2|1+i 1+i ここで 3-5i 1+i 1+ 1-? 7,より,求めるkの値は =-1-4i (左辺) k= -5 このとき,与えられた方程式の解は 30 kを実数とする x=2, -1-4i rの0 。 思老のプロセス

(1)について微分を使った解き方を知りたいです。数Ⅲの基本的な微分は理解できています。

第2章 高次方程式 の (1) nを3以上の自然数とする。x-1を(x-1)"で割ったときの余ん を求めよ。 (2) x+x5+1をょ+1 で割ったときの余りを求めよ。 題 56 剰余の定理3 利用できる。(二項定理については, p.21 参照) 2) ーiで+1=0 となる。実数係数の整式の割り算での余りは実数係数であっ S(x)月 2次以下の式であるから,余りはax+ bx+cとおける。 よって、 x-1=(x-1)°Q(x)+ax。+ bx+c …D x-1=t とおくと,x=t+1 より, ①は、x)0(S (t+1)*-1=F-Q(t+1)+a(t+1)?+6(t+1)+c……2 2の左辺に二項定理を利用すると, (左辺)=.C+.C--1 +.Ca+.Caf+.Cit+.Co-1 .C-(n-1) 解答 (1) 3次式(x-1)°で割ったときの商をQ(x) とすると,余りは 2 n(n-1) =.Cf"+.C-+ +.Caf°+ P+nt 2 C=n Co=1 また、2の(右辺)=P-Q(t+1)+at°+(2a+b)t+a+b+c…④ で、整式-Q(t+1)は各項とも3次以上である。 スロ (+x5+) 立社 3, 9の2次以下の項の係数を比較して, _n(n-1) -=DD 2 2a+b=n, a+6+c=0 n-3n これらから,a= ) 6=D- (n°-2n), c=- 2 2 n(n-1) 2 (2) 2次式+1で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+bとおく。 x+x5+1=(x?+1)Q(x)+ax+b (a, bは実数)が成り立つ。の式 これはxの恒等式であるから, 両辺にx=i を代入すると,i=-1 よって,求める余りは、 -(rー2n)x+ガ-3n 2 余りは1次以下 F=-1, P=()"=1, i"=(?)?*;=-iより, ①は, 2-i=b+ai となる。 a, bは実数であるから, よって, 求める余りは, a=-1, b=2 複素数の相等よ ーx+2 )微分法(第6章)を学習すると, xの恒等式 x"-1=(x-1)°Q(x)+ax°+bx+C り 辺を微分した式も恒等式であることから, a, b, cの値を容易に求められる.