数Ⅰの集合と命題の問題です。答えは（1）偽（2）真です。 証明はどうやってするんですか？

a b は実数とする。 次の命題の真偽を調べ,真である場合には証明 し,偽である場合には反例をあげよ。 (1) a, b がともに無理数ならば, α+6は無理数である。 (2) a, b がともに無理数ならば,a+ba-bの少なくとも一方は無 理数である。

1＋α2乗≠0はなぜ必要なんですか？

*180 複素数 αについて,次のことを証明せよ。 ✓ |a|=1, α2≠-1 のとき a は実数である。 1+α2

「√2が無理数であることを背理法を用いて示せ」という問題で解説の下から5行目の「このとき、n^2は4の倍数だから〜」のところが分からないです。教えてくださいよ

(3)√2 有理数と仮定すると, まず結論の否定 2つの自然数m, n を用いて, √2 と表せる. n = m (ただし,m, nは互いに素)これ以上納分できない最大のポイント 両辺を2乗すると,2m²=n2 左辺は偶数だから,n2 も偶数. すなわち, nも偶数. このとき, n2は4の倍数だから,2m²も4の倍数. よって,2は偶数となり, mも偶数. ゆえに,mnは共通の約数 2をもつことになり、 mとnが互いに素であることに矛盾する. よって, √2 は有理数ではない.すなわち, √2 は無理数.

数学 書き方おかしい！とかこれだと証明になってない！みたいな箇所があれば教えてください🙇‍♀可能であれば対偶を使った証明も教えてほしいです💦 命題P「a^2+b^2+c^2が偶数ならば,a,b,cのうち少なくとも1つは偶数である」 問題:命題Pを証明せよ (証明) 「... Read More

実例をあげて頂きたいです🙇🏻‍♀️

□ (4) x, y を実数とする。 x > y, x >y ならば, xキyである。

(１)の問題あっていますか？

6 例題 4 背理法による証明 第2章 集合と命題 ★★★★ a,b,cは2+B2=c2 を満たす自然数とする。 このとき, a, b の少なくとも一方は偶数であること を背理法を用いて示せ。 [類 岐阜聖徳学園大] 結論を否定して矛盾を導く 考え方 ポイント 結論が成り立たないと仮定する。 (結論を否定する) ⇒ 「a, b の少なくとも一方は偶数」の否定は 「α, bがともに奇数」 '+6=c2の両辺について, 4の倍数であるかどうかを調べる。 解答 a b がともに奇数であると仮定する。 ① 結論を否定 ② 右辺を調べる → このとき,a2,62 は奇数であるから,c=d' +62 は偶数である。 左辺を調べる ③ 矛盾を導く 練習 4 よって, cも偶数であるから, cは自然数を用いてc=2k と表される。 ゆえに,c2=(2k2=4k2となり,kは整数であるから,2は4の倍数である。 一方,奇数a, b は自然数m, nを用いて, a=2m-16=2n-1 と表される。 このとき,a+b2=(2m-1)+(2n-1)²=4(m²+n²-m-n) +2 となり, m²+n-m-nは整数であるから, a' + 62 は4の倍数ではない。 ゆえに,'+b2=c2 において,右辺は4の倍数であるが, 左辺は4の倍数でない から, 矛盾する。 したがって, a,bの少なくとも一方は偶数である。 [終] (1)正の整数xが3の倍数ではないとき,x2を3で割った余りは1であることを示せ。 (2)x,y,z は x2+y'=z' を満たす正の整数とする。 このとき, x, yの少なくとも一方は 3の倍数であることを, 背理法を用いて示せ。 [類 大阪学院大 ] の実 大

背理法、最初の結論の否定なら行けるのですが、そこから先が壊滅的に分からないので教えてください🙏

練習 4 (1)正の整数xが3の倍数ではないとき, x2を3で割った余りは1であることを示せ。 (2)x,y,zは x2+y'=z' を満たす正の整数とする。 このとき, x, yの少なくとも一方は 3の倍数であることを, 背理法を用いて示せ。 [類 大阪学院大] 愛知学院大)

こちらの解き方と答えを教えていただきたいです。 背理法？だと思います。

以下のA,Bに当てはまる整数を答えよ. 解答 のみを回答して下さい . (配点:A4点, B3点) 数学的帰納法は証明手法の一つであり, 自然 数に関する命題Pが全ての自然数について成立 することを証明するのに、 次の手続きを行う: 1. 命題Pが自然数Aに対して成立することを示 す, 2. 命題Pが自然数kに対して成立すると仮定し て, 命題Pが自然数k+Bに対して成立することを 示す. 以下のCに当てはまる語句を答えよ。 解答の |みを回答して下さい. (配点:C3点) 背理法は証明手法の一つである. 命題Pが成 |立することを証明するのに,次のような論法で ある : 「命題Pが成立しない」 と仮定して正しく議 論を進めて,Cを導く. そうすることによっ て,「命題Pが成立しない」 という仮定は誤り であり,命題Pが成立すると結論するものであ る。

波線を引いたところについて質問です なぜg＞0になるのですか？

補足 0. 1次不定方程式の整数解が存在するための条件 6は0でない整数とするとき,一般に次のことが成り立つ。 +by=1 を満たす整数x,yが存在するαともは互いに素………(*) このことは, 1次方程式に関する重要な性質であり, 1次不定方程式が整数解をもつかど うかの判定にも利用できる。 ここで, 性質 (*)を証明しておきたい。 まず,⇒については,次のように比較的簡単に証明できる。 (*)のの証明] ax+by=1 が整数解 x=m, y=n をもつとする。 また,aとbの最大公約数をg とすると a=ga', b=gb′ と表され am+bn=g(a'm+6'n)=1 g=1 よって,gは1の約数であるから したがって,aとは互いに素である。 ◆aとbの最大公約数が 1となることを示す方 針。 p.397 基本例題 103 (2) 参照。 α'm+b'n は整数, g>0 433 一方の証明については,次の定理を利用する。 4章 aとbは互いに素な自然数とするとき, 6個の整数 a1,a2, a 3, ・・・..., ab をそれぞれ6で割った余りはすべて互いに異なる。 証明 i, jを 1≦i<j≦b である自然数とする。 ai, aj をそれぞれ6で割った余りが等しいと仮定すると背理法を利用。 aj-ai=bk (k は整数)と表される。 よって a(j-i) =bk 差が6の倍数。 aとは互いに素であるから, j-iはもの倍数である。... ①p, gは互いに素で, pr しかし, 1≦j-i≦b-1 であるから, j-iは6の倍数にはな がqの倍数ならば, rは gの倍数である(p,a, rは整数)。 5 らず,①に矛盾している。 est したがって,上の定理が成り立つ。 t [(*)のの証明] 15 ユークリッドの互除法 aとbは互いに素であるから,上の定理により6個の整数α・1,上の定理を利用。 a•2, a·3,......., ab をそれぞれ6で割った余りはすべて互いに 異なる。 ここで,整数を6で割ったときの余りは 0, 1, 2, 6-1のいずれか(通り)であるから, akをbで割った余りが 1となるような整数ん (1≦k≦b)が存在する。識は akをbで割った商を1とすると ak=6l+1 すなわち ak+6(-1)=1 よって, x=k, y=-l は ax + by = 1 を満たす。 すなわち, ax+by=1 を満たす整数x, y が存在することが示 された。 このような論法は, 部屋 割り論法と呼ばれる。 詳しくは次ページで扱 ったので、読んでみてほ しい。

解説の2行目、3行目が分からないです。そういうものとして捉えていいのか、解説があれば教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

題 62 V√7 が無理数であることの証明 000 倍数ならば, nは7の倍数であることを用いてよいものとする。 /7 は無理数であることを証明せよ。 ただし, n を自然数とするとき, n2 が7の 指針 [類 九州大 ] 基本61 無理数であることを直接証明することは難しい。 そこで, 前ページの例題と同様 直接がだめなら間接で 背理法 に従い 「無理数である」=「有理数でない」を,背理法で証明する。 つまり、√7が有理数(すなわち 既約分数で表される)と仮定して矛盾を導く。 [補足] 2つの自然数α bが1以外に公約数をもたないとき,aとは互いに素であ るといい,このときは既約分数である。 √7 が無理数でない, すなわち有理数であると仮定すると, 解答 1以外に正の公約数をもたない2つの自然数 α, bを用い て,√7=C と表される。 1,2,3がどう