重要 例題 19 ベクトルの不等式の証明 (1)
次の不等式を証明せよ。
03-005-20
(1)||||≦a≦|a|||
00000
(2) a-b≤a+b≤a+b
P.602 基本事項
指針 (1) 内積の定義 a = |a|||cos (0) はa, のなす角) において, cos
であることを利用。 ベクトルの大きさについて|≧0であることにも注意す
る。
(2)まず, la≦|a|+|6|を示す。 左辺, 右辺とも0以上であるから、
A≧0, B≧0 のとき A≦B⇔A'SB
であることを利用し, las (a +6)2 を示す。 (右辺) (左辺)20を示す
では, (1) の結果も利用 する。
次に,a +6の証明については,先に示した不等式 la +6|≧|a|+|6
利用する。
(1)[1] = 0 または = 0 のとき
ab=0, |a||b|=075345
||||=2.5=||||= 0
解答
[2] a≠0 かつ≠0のとき
[1] のときは,d,
す角0 が定義できな
a のなす角を0とすると
a.b=|a||b|cos
①
20°180°より, -1≦cos≦1であるから
①から
-abab cos 0≤|a||b|
asala|||
BOA
0=180°
0=0%
DA
定
16\cose
(大きさ)
coseは
[1], [2] から -||||||
=a+2|a|||+|-(a+20 +12)
(2) (a+b)-lä + b²
=2(|a||b|-a b)≥0
ゆえに
a+b=(a+b)²
a+b≥0, la+ b | ≥ 0 ☆ 5
00°のとき最大
0=180°のとき最小
(1)で示した
alaを利用
a+b≤ã+62
②
② において, d を a +6, を - におき換えると
la+6-6|≦10+6+1-6
よって
ゆえに
②③から
a≤a+b+b
a-b≤a+b|
......
(*)
③
ã-b≤ã+b≤a+b
|-5|=||
(*)の左辺に
