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Mathematics Senior High

青チャートです。検討の部分に不等号について書いてあるのですが、全体的によく分かりません。これはどういうことなのですか。

基本例題 33 不等式の性質と式の値の範囲 (2) x,yを正の数とする。x, 3x+2y を小数第1位で四捨五入すると,それぞれ6 21 になるという。 (1) x の値の範囲を求めよ。 (2) yの値の範囲を求めよ。 指針まずは、問題文で与えられた条件を,不等式を用いて表す。 例えば, 小数第1位を四捨五入して4になる数α は, 3.5 以上 4.5 未満の数であるから, aの値の範囲は 3.5≦a <4.5である。 (2) 3x+2y の値の範囲を不等式で表し, -3xの値の範囲を求めれば, 各辺を加えるこ とで2yの値の範囲を求めることができる。 更に, 各辺を2で割って, yの値の範囲 を求める。 解答 (1) xは小数第1位を四捨五入すると6になる数であるか ら 練習 ③ 33 5.5 ≦x< 6.5 ① (2) 3x+2y は小数第1位を四捨五入すると21になる数で あるから 20.5≦3x+2y<21.5 ① の各辺に-3を掛けて -16.5≧-3x> -19.5 -19.5<-3x≦16.5 すなわち ②,③の各辺を加えて ...... したがって 各辺を2で割って 2 20.5-19.5 <3x+2y-3x<21.5-16.5 1<2y<5 <y< (2) 5 2 (3) -2x 15.5≤x≤6.4, 5.5≤x≤6.5 などは誤り! 3x+2y-3x<21.5-3x 21.5-3x21.5-16.5(=5) 基本 32 負の数を掛けると、不等 号の向きが変わる。 不等号に注意 (検討参照)。 不等号にを含む・含まない に注意 上の2yの範囲(*)の不等号は、ではなくくであることに注意。 例えば、右側について 検討 は ② の3x+2y<21.5 から ③の-3x≦-16.5 から よって 3x+2y-3x<21.5-3x≦5 したがって,2y<5となる(上の式の等号が成り立たないから, 2y=5とはならない)。 左側の不等号についても同様である。 正の数で割るときは,不 等号はそのまま。 20 AL x,yを正の数とする。 x, 5x-3y を小数第1位で四捨五入すると,それぞれ 7,13 になるという。 (1) x の値の範囲を求めよ。 ②2 y の値の範囲を求めよ。 p.78 EX 29 65 章 G 1 5 不 等

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(2)π/2を代入しなくても③から恒等式で求めてもいいですか?

基本 例題 156 第2次導関数と等式 (1) y=log(1+cosx)" のとき, 等式y" +2e-x=0を証明せよ。 (2) y=euxsinx に対して, y" = ay + by' となるような定数a,bの値を求めよ 10) [(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本 155 指針 第2次導関数 y” を求めるには,まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに の恒等式である。 (1) y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。 また,e-xで表すには、等式 elogp=pを利用する。 (2) y', y” を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる。 解答 (1) y=2log(1+cosx) であるから (1+cos x)' 1+cosx よって よって y'=2・ y" == 2{cosx(1+cosx)−sinx(−sinx)} +(1+cos x)² x£)aies 2 1+cosx 2(1+cosx) (1+cosx) また,=log(1+cosx) であるから 2 ゆえに 2e-2=2 y 1+cos x π 2 e2 y"+2e=¾=—— 2 また, x= 39 てもこれを解いて == 1+cos x 2sinx 1+cosx y"=ay+by' に ①, ② を代入して e2x ...... を代入して +A + (2)y'=2e²sinx+e2xcosx=e2x(2sinx+cosx) y"=2e²x (2 sinx+cosx)+e²x (2 cosx-sinx) =e2x(3sinx+4cosx) ① ゆえに ay+by'=ae²x sinx+be²x (2 sinx+cosx)) =`(²x) =e2x{(a+26)sinx+bcosx} ež=1+cos x 2 1+cos x ③はxの恒等式であるから, x=0を代入して 3e=e" (a+26) =0 【logMk=klogM なお,-1≦cosx≦1と (真数) > 0 から 1+cosx>0 [参考 (2) のy"=ay+by' ように、未知の関数の導 を含む等式を微分方程式 (3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③ いう(詳しくは p.473 参照 4=b ③が恒等式③に ◄sin²x+cos²x=1 CHURO530 11 [elogp=を利用すると alog(1+cosx)=1+cosx logze REC (e²)' (2 sinx+cos x) +ex (2 sinx+cos.x)' 2 を代入しても成り a=-5, b=4 このとき (③の右辺)=e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}= (③の左辺) 逆の確認。 したがって a=-5, 6=4

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