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第1章 数列の極限
例題21
a1=4, an+1= 6
(n=1, 2,3,......)
で定義される数列{an} について,次の問いに答えよ.
(1) 1<a≦4 を示せ.
(3) limam を求めよ.
1140
考え方 (1) 数学的帰納法を使う.
n=kのとき, 1 <a≦4 が成り立つと仮定して
n=k+1 のときも成り立つことを示す.
数学的帰納法と極限
an²+5
6
(2)(1)で示した 1<a,≦4 を利用できるように,Qn+1−1=ℓ
解答 (1) 1<a, ≤4
･･ ① とおく .
(I) n=1のとき, α=4 より ① は成り立つ.
(II)n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると..
1<a≦4
より
る.
(3)(2)で示した不等式を利用して, 例題 17 (p.47) と同様にして極限値を求めればよい。
数学的帰納法で示す。
(2) an+1−1=
21
つまり, 1<ak+1 <4
6
EV EV
したがって,n=k+1 のときも ① は成り立つ .
よって, (I), (ⅡI)より すべての自然数nについて
1 <a≦4 が成り立つ.
6
an+1
6
よって,
1²+5__a²+5_4²+5
6 6
6
an²+5
VII
6~1
an²-1
6
= (a + 1)(α =1)
ここで、1<a≦4より,
an+14+1
(2) an+1−1≦22 (an-1)を示せ .
5
6
6
OHA
この形つくりたいから
(an+1)の方もってくる
(an+1) (an-1) ≤=(an — 1)
ww
5
an+1−1≤ (an-1)
*****
….... ②
(0)
a2+5_1 の右辺を変形す
仮定した式について
1.各辺を2乗する。
2.各辺に5を加え
3.各辺を6で割る.
2150
PAR
an+1−1 と
an-1の
10
関係式にする.
因数分解して次数
下げるのと同時に
(a-1)を作る.
各辺に1を加えて
で割る.
0.0.9
an-1>0
>1より,
