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73
00000
(2)
x-2<0
-1<0-1≥0
X-2≥0
72
基本 40 絶対値を含む方程式
次の方程式・不等式を解け。
(1)|x-1|=2
(2)|2-3x|=4
(3)|x-2|<3
指針
ただし,(1)~(4)の右辺はすべて正の定数であるから,
絶対値記号を含むときは、場合分けをして、絶対値
記号をはずして考えるのが基本である。
|A|=
次のことを利用して解くとよい。
>0 のとき 方程式|x|=cの解はx=±c
-c<x<c
不等式|x|<c の解は
不等式|x|>c の解は
x<-c, c<x
(1)|x-1|=2から
x-1=±2
x1=2 または x1=-2
x=3,-1
(4)基本
A
11=1_^
-A
例題 41 絶対値を含む方程式
P.63 次の方程式を解け。
(1) x-2|=3x (2)|x-1|+|x-2|=x
AKO 絶対値記号を場合分けしてはずすことを考える。 それには,
|x-1=Xとおくと
|XI=2
よって X=±2
| (2) |2-3x|=|3x-2 であるから, 方程式は 3x-2|=412-3x=4から
2-3x=±4
としてもよいが、
|= {_^
|A|=
-A
(A≧0 のとき)
(A < 0 のとき)
であることを用いる。 このとき, 場合の分かれ目となるの
は, A=0, すなわち | 内の式 =0の値である。
(1)x2≧0x20, すなわち,
x≧2とx<2の場合に分ける。
(2) 2つの絶対値記号内の式x-1, x-2が0となるxの
値は,それぞれ1 2 であるから,x<1, 1≦x<2, 2≦x
の3つの場合に分けて解く (p.75 ズーム UP も参照)。
(1)[1]
章
19
2
x
場合の分かれ目
41次不等式
解答
すなわち
よって
ゆえに
3x2=±4
答
すなわち
3x2=4 または 3x2=-4
|-4|=|A|を利用
のとき, 方程式は x-2=3x
これを解いて x=-1 x=-1 は x2を満たさ
ない。
よって
(3)|x-2|<3から
x=2, -2
の係数を正の数に
[2] x<2のとき, 方程式は
-(x-2)=3x
1
3
-3<x-2<3
(3),(4)x2=Xと
おくと解きやすくな
これを解いて x=
2
x= は x<2を満たす。
2
重要!
場合分けにより,||を
はずしてできる方程式の
解が、場合分けの条件を
満たすか満たさないかを
必ずチェックすること
(解答の の部分)。
1
各辺に2を加えて
-1<x<5
|X|<3から
[1], [2] から, 求める解は x=
(4)|x-2|>3から
x-2<-3, 3<x-2
-3<X<3
したがって
x<-1, 5<x
|X|>3から
最後に解をまとめておく。
-2x+3=x
X<-3, 3<X
これを解いて x=1 x=1はx<1を満たさない。
[2] 1≦x<2のとき, 方程式は (x-1)(x-2)=x
これを解いて x=1
- をつけてをはず
す。
x-1≧0, x-2 < 0
x=1は1≦x<2を満たす。
(x-1)+(x-2)=x
<x-1>0, x-2≧0
2
(2)[1] x<1のとき,方程式は (x-1)(x-2)=xx-1<0,x-2<0→
すなわち
絶対値を数直線上の距離ととらえる
|b-alは,数直線上の2点A(a),B(b)間の距離を表しているから, x-2は数直線」
座標が2である点と点P(x) の距離ととらえることができる。 よって、(3),(4)の不等
満たすxの値の範囲は、下の図のように表すことができる。
|x-21=3
x-21>3
\x-21=3
[3] 2≦xのとき, 方程式は
2x-3=x
すなわち
これを解いて x=3
以上から、 求める解は
y=x-21のグラスと方程式
x=3は2≦xを満たす。
x=1, 3
最後に解をまとめておく。
