8 第8章 整数の性質
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239 合同式の利用(3)
くての自然数nについて, 9" +4***は5の倍数であること
明せよ.
(2) すべての自然数nについて, 2+1+32n-1は7の倍数であること
を証明せよ.
考え方
(1)
9=4 (mod5)であるから,合同式の性質 α=b" (modm)より,
94" (mod5) がいえる.
(2) 2=9(mod7) に着目し,合同式の性質を利用できるように式を変形する。
03 01 P OF S
解 (1) +4n+1=9"+4•4"
(1) 9²+
94 (mod5) であり, nは自然数であるから,
9"=4" (mod 5)
1
de u
がいえる.
①より, 9"+4•4"="+4・4"
1²+ 451 4^2 - 26271 (2 Bom)
(Si bom) 1==1=²833
ここで,4"+4•4"=(1+4)・4"=5.4" より,==
9+4+4" 5.4"=0 (mod 5)=8+8=²8
よって すべての自然数nについて 9" +47 +1 は5の
8=¹***8 ($1 bom) b=*
倍数である.
(2) 2+1+32n-1=pとおく.
2n+1=22.2"-1=4・2-100g 01 0001-000k
また,32n-1=3.32n-bot) fatal00001① 32n-1)=(32)^-1
=3.32(n-1)=3.9-1 より,
=9n-1
P=4・2"-1+3・9-1 ･･････①
ここで,9≡2(mod7) より 9-12-1 (mod7)a=b(modm)
,
tborn したがって, ①より,P=4･21+3・2"-1 (mod7)
a"=b" (modm)
さらに,4･2"-1+3・2"^'=(4+3)・2^-1
=7.27-3より,
P=0 (mod7) (0lbom)e=
以上から,すべての自然数nについて 2n+1+32n-1
は7の倍数である.
