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18 第1章 数と式
標 問 6
式の値 ( 分数式)
19
解答
(1) 2x-y+z=0, x+2y+8z=0より
(東亜大)
x=-2z,y=-3z
よって,
ry+y+zx_(-2z)(-3z)+(-3zz+z(-2z)
x²+ y²+z2
(-2z)+(-3z)2+22
分数式を1つの文字で表す
2式を連立して, x,yについ
て解く
(1) 実数x, y, はいずれも0でなく, 2x-y+z=0とx+2y+8z=0 の
xy+yz+zx
両方を満たすとき
x² + y²+z²
の値を求めよ.
ytz_z+x+y=mとするときの値を求めよ.
(2)
2
I
y
また,(1+2) (1+72)(1+/-) の値を求めよ.
(6-3-2)z2 1
=
(東海大)
(4+9+1)2214
(2)
I
精講
(1) 文字が3つありますが
解法のプロセス
2x-y+z=0, x+2y+8z=0
を利用して, 1つの文字で残り2つの文字を表現
(1) 2c-y+z=0,
x+2y+8z=0
xy+yz+zx
し、
に代入します.
x²+ y²+z²
を連立してz,yをを用い
て表す.
(2) 分数式の値を求める際,その値をとで
もおいて考えていくとラクなことが多いのです.
↓
my+yz+x
この問題では、問題文でmとおいてあります.
+2+2に代入する.
I
y+z_z+x+y=mより
y
2
y+z=mx ①, z+x=my..... ②
x+y=mz... ③
①+②+③ より 2(x+y+z)=m(x+y+z)
よって, (x+y+z) (m-2)=0
したがって, x+y+z=0 またはm=2
x+y+z=0のとき,
y+z=1=-1
I
y+z. =m より y+z=mx ...... ①
I
+1=mより2+x=my....... ②
y
同様に,
z+x= y=-1,
y
y
x+y=-=-1
2
2
x+y=mよりx+y=mz... ③
2
y+z=-x を代入
m=2となるx, y, zが存在
することを主張している
なお、m=2のとき ①②よ
りェyが得られ、同様に
② ③ より y=z が得られ
解法のプロセス
よって, m=-1
y+z_z+x+y=m
(2)
2
I
y
また,r=y=z (≠0) のとき =2となる?
したがって,m=-1,2
を
y+z=m,
2+1=m
y
(1+1/2)(1+7)(1+2/)=ty.y+zz+p
y
Z
ytzztexty
る
I
y
2
=m³
=-1, 8
として, ① ② ③を連立してmを求めます. こ
のとき,x,y,zの文字を消去していくのも1つ
の方針ですが,x,y,zが同等の扱いを受けてい
るので(ryやzに対して特別な扱いを受けて
いない), x, y, zの対称性を利用して処理するの
が簡単でしょう (標問9参照)。
①+②+③ をつくると
2(x+y+z)=m(x+y+z)
(x+y+z) (m-2)=0
が得られます.
これから
x+y+z=0 またはm=2
となります.
I
x+y=m
2
と扱って
[y+z=mx
z+x=my
x+y=mz
とする.
演習問題
↓
6-1
x+4y=y-3.z≠0のとき、
2x²-xy-y²
この連立方程式を解く、
2x2+xy+y2
の値を求めよ.
(山梨学院大)
IC
(6-2x+y=y+z=2のとき、この式の値を求めよ。
(札幌大)
y
章
1
