● 13 奇隅で形が異なる漸化式
次のように定められた数列がある.
n+1
n
a1=1, an+1=an+
(n=1, 3, 5, ...), an+1=an+-
(n=2, 4, 6, ...)
2
(1) a2=,ag=
a6=
□, a7=
である.
(2) a39=
a40=
である.
(3) 初項から第40項までの和は
である.
(明大・農)
a3, ......
奇偶で形が異なる漸化式 nの奇偶で形が異なる漸化式は, n=2k-1, n=2kとおいて, 奇数項 (41,
･････) どうしに成り立つ漸化式, つまり2k+1を2-1で表す式を立てて解き、もとの漸化式に戻っ
て a2k を求める.
解答量
(1) a1=1より, a2=a+ -=2,α3=az+-
1+1
2
2
23,
3+1
2
a=a3+ -=5,25=a4+ -=7, a6=a5+
4
2
5+1
2
=10,α=46+
(2) n=2k-1のとき
a(2k-1)+1=a2k-1+
(2k-1)+1
2
1つすすめ
2k
2
n=2kのとき,2k+1=a2k+ =a2k+k
a2k=a2k-1+k
①,②より, a2k+1=a2k+k=(azk-1+k)+k=a2k-1+2k
n≧2のとき
an-1=a1+(a-a1)+(α5-a3)+... + (azn-1-42n-3)
=a1+a2+1-28-1)=1+2k=1+2.12 (n-1)n
=n2-n+1(n=1のときもこれでよい )
62
=13
① から, a2= an-1+n=n2+1
③ ④ n=20として,α39=202-20+1=381, a=202+1=401
(3) ③ ④ より
20
n=1
20
(azn-1+azn)=2(2m²-n+2)
n=1
=2·
・20・21・41-
1.41-1/20
-・20・21+2・20=5570
1
3
奇数項についての漸化式を立て
て奇数項を求める. 偶数項は奇
数項からすぐに分かるので, 偶数
項についての漸化式は立てる必
要はない.
a=na
k=1
