38 nを自然数とし, 3 進法で表したとき11の後に0がn個続く数を a とする。
すなわち, an=1100......0 (3) である。
(1) an 10進法で表して素因数分解せよ。
(2) 以下、すべて10進法で考える。 an の正の約数の和を S とする。 S≧35×10°とな
の自然数nを求めよ。 ただし, log10 30.4771 とする。
[類関
針
n
(1) まずは, an を10進法で表す。
3” でくくると素因数分解できる。
(2) 正の約数の和は,(1) で示した素因数分解の結果を用いる。………B
和の計算では,等比数列の和の公式を用いる。
...... C
10°+1のままでは,両
使用対数をとっても右辺
がうまくできない。
nが自然数のとき
+1 と 3 +110°が
あることを利用し,
●の常用対数をとっ
[AI
条件 S, ≧ 35×10°から,nを指数に含む不等式が出てくる。両辺の常用対数をとる
とにより n を求める。
(¹)
(2) Sn=(1+2+2²)(1+3+······+3²)
(1) an を 10進法で表すと
an=1100･････・・0 (3)=1・3n+1+1・3"=3"(3+1)=2・3”
=7.1(3"+1−1)_7
3-1
Sn≧35×10° とすると
よって
ゆえに 3+1≧ 10°+1
3n+1−110°
第11章 数
2
-
(3+1−1)
7
1/12 (3+1-1
37110°+1)
(3"+1−1)≧35×10°
nは自然数であるから
3n+1>10⁹
この不等式の両辺の常用対数をとると
log103n+1 > 10g10 10°
(n+1)×0.4771>9
9
0.4771
(+4)(1+
よって
ゆえに
n+1>
= 18.8......
これを満たす最小の自然数nは n=18
したがって, Sn≧ 35 × 10° となる最小の自然数nは18
333
