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のを変形すると, (_ア ]m-1)(イ]n-3)=[ウエ]となる。これにより, ①
重要例題28) 2次の不定方程式。
第7章 整数の性質
129
を整数とする。方程式 6mn-9m-2n=27
m, 7
Oの解について考える。
を満たす m, nの組はオ
の値が最大となるのは,
組存在することがわかる。
m=_カ
オ組のうち, mn
n=| キ]のときである。
POINT!
)=(整数)の形に変形する。 ( ) は(整数)の約数。
自然数,偶数,奇数などから, 解の候補を絞り込む。
①を変形すると 3m(2n-3)-2n=27
3m(2n-3)-(2n-3)=27+3
-2n-3をつくる。
全1つの文字について整理。
基1
よって(73m-1)(イ2n-3)=ウェ30
m, 1nは整数であるから, 3m-1, 2n-3も整数である。
よって, 3m-1, 2n-3は30の約数である。
)=(整数)の形
に変形。
)は(整数)の約数。
2n-3は奇数であるから
→素早く解く!
(3m-1, 2n-3)3 (-2, -15), (-6, -5), (-10, -3), ←3m-1は
7
3(m-1)+2
より,3で割ると2余るこ
とから,絞り込むこともで
きる。その場合
(6, 5), (2, 15)
3m-1
-2
-6
-10
-30
30
10
2
2n-3
-15
-5
-3
-1
1
3
15
29
31
11
(2, 15), (5, 6)
が候補となる。
m
-3
1
3
3
3
-6
-1
0
1
2
3
9
表から, m, nが整数となる組はオ2組存在する。
このうち, mn の値が最大となるのは m=カ1, n=キ9
2n-3が奇数であることに気付かないと, 2n-3=±2, ±6, ±10,
土30 の場合も調べることになり, 余計な時間がかかってしまう (も
ちろん,それらからは解が得られない)。また, 例えばm, nが自然
素早く
解く!
数であれば、mM1, n21より3m-122, 2n-32-1となるから, m, nの値は
りれる。このように, 条件や式から効率よく解の候補を絞り込みたい。
らに、上の表では m. nの値をすべて求めているが, mが整数にならないとわ
かった時点で、×印など記して、 それを解の候補から除外してしまうとよい。条件
を満たさなt
デわゴ求める必要はない。
|整数の性質
6|5|7|3|4
53
13
