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導出2
http://hep1.c.u-tokyo.ac.jp/-kazama/QFT/qh4slide.pdf
「量子力学/場の量子論 /Noether の定理」参照
SL
Lagrange 微分:
を次のように定義する。
SL
Te
(6,4)
OL
8p
SL
OL
三
p
OL
場の運動方程式:
=0
次の無限小変換を考える。
x→x'=x+4x
(x→x=x"+ Ax")
p(x) → p(x) = ¢(x) + 4¢(x)
4は total change(¢(x) からの差分)を表す。
また、中(x)は、(x)= ¢(x) + Ax" 6,¢(x) でもある。
中(x) は場を少しだけ変形したもの、次の項は位置を少しだけずらしたときの差分。つまり、場の形の微小変
化による差分+位置の微小ずらしによる差分= total change となる。
Lie 変分:同一座標点での場の形の変化を Lie 変分と呼びるで表す。
るp(x) = ¢(x) - (x)
上の中(x)に関する2つの式より、
Sp(x) = ¢(x) - (x) = 4¢(x) - Ax" o,¢(x)
すなわち total change 4¢(x) は、A¢(x) = ō¢(x) + Ax" o,¢(x) となる。
(x地点では、ふ(x)= ¢(x') - ¢(x') )
作用S=Jd'xL(¢x), a,4(x))の変化を求める。
S'=[dx L(¢), 6.f(ax))
まず場の変化をx'での Lie 変分で書き表す。すなわちゅ(x) = ¢(x) + 5p(x) 等々。
すると、微小量の一次のオーダーまでとって
S'=[dxL(ec). 6,4)+Jd'x( +
L
-6,54)
第1項をxでの表式に書き換えると、
Ja'r La) =[dxL)
d'x=dx
=Jdx(L) + Ax" 6,1 )
ヤコビアンは次のように計算される。行列 MをM,= 0, Ax° と定義すると、
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11
= detl1 +MI = expTrln(1 + M) ~expTrM~ 1+ 6Ax"
OL
S'=Jd'x(1+ 0Ax°)(L+ Ax" 0,L +
6,6)
("e)e
- 5p
T9
この一次近似は、
SL
L
L
-Sp+ 6(-
SL
三
6¢
OL
=[dx{L+6.(ax" L) +
- るみ)}
a(6,4)
0.4)
=Jdx{L+ +
T2
p+ Ax" L)}
(0,p)
8p
S-S=[dx +s
T9
るp+ Ax" L)}
- Ja'xL=S
8p
(e)e、
=Jdx{e"+
SL
ここでは、デ=
OL
- み+ Ax" L
6,4)
SL
ゅ= 0
8p
8L
L
T9
場の運動方程式
8p
=0より、
" a(6,4)
L
L
るp+ Ax" Lとしたが、j"= -
a(0,4)
- 5ゅ - Ax" Lとおいてもよい。)
6j"= 0
(j"=
