「考え方」
Think
例題 B1.38 漸化式 an+1=f(n) an
a=1,(n+3)an+1= nan で定義される数列{an}の一般項an を求めよ.
n+3
解答1 漸化式は an+1=
an+1=f(n) am となる.
ここで,
これをくり返すと
解答 2 漸化式の両辺に(n+2)(n+1) を掛けると
解答1 漸化式を変形して,
このとき,
先にこの式→
かいて、どこから
完全に約分できるか
みつけるか
いっきに利
きるコ
n -anと変形できて、f(n="
n+3
(n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)na, となる.
b=(n+2)(n+1)nan とおくと、この式はbn+1=b"となる.
・①
an
autif(n)=f(n){f(n-1)gas)=f(n)f(n-1)(f(x-2) and)
an+1=f(n)f(n-1)f(n-2).f (1)
A₂=
3 漸化式と数学的帰納法
n
an+1=n+3an
1+3=
よって
A3 =
=
2+3a2=
n4 のとき, ① をくり返し用いると､
n-1 n-2. n-3.n-4.
<n+2n+1
(4)
n
2
2+3 1 +3% 10
1
2
n-Ⅰ
3
中項目から
n+2n+1 n n(n+1)(n+2)
・1=完全に約できる
この式はn=1,2,3のときも成り立つ.
6
よって
an=n(n+1)(n+2)
a3
43 2'1
7 6 5 4
解答 2 漸化式の両辺に(n+2)(n+1)を掛けると,
an = ht
if an
したがって,
ここで,b=(1+2)・(1+11
b=(n+2)(n+1)na であるから.
(n+2)(n+1)na²=6
an=
(n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)nan
6
n(n+1)(n+2)
bn=bn-1=b"_2=......=bı
とおくと、
04-06
より,
=6
a₁
(h-1+3
b₁=6
√2+2
****
(89
最低でもん
an
h+2n+1
残るけど
n-1
a
n+2'
b=(n+2)(n+1)na, とおくと, ②はbn+1= b, となり, =(x+2)
これはすべての自然数nに対して成り立つ
n-1
n+2
-......
a=1
(n+3)(n-
a=1
