20 点と直線
例題20 2直線の関係
・①
平面上の2直線ax-3y=-a+3 ...... ⑦, x+(a-4)y=4a-12 ...... イ
を考える。ただしaは定数である。
(1) 直線⑦と①が垂直であるとき, a の値を求めよ。 このとき直線をℓ, 直線④
を m とする。 lとmの交点Aの座標を求めよ。
n
(2) 直線⑦と①が一致するとき, a の値を求めよ。 また, この直線をnとする。
と(1)の点Aの距離を求めよ。
(3) (1)のℓ, m と(2)のnで囲まれた図形の面積を求めよ。
解法へのアプローチ
(1) 2直線の垂直条件を利用する。 ①については,αキ4 のときしか傾きを考えられないので,傾き
を求める方法では場合分けが必要となるので,直線の一般形における垂直条件を利用する。
(2) 直線が一致するには,平行でなければならない。そこでまず, 2直線の平行条件を利用する。
(3) 3直線l,m,nで囲まれた図形は三角形であり、直線nを底辺とみると,点Aと直線nとの距
離が高さとなる。
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[10 日本大]*|
解答
(1) 直線⑦と①が垂直であるための条件は α・1+(-3)(α-4)=0 より a=6
このとき, l: 2x-y=-1, m:x+2y=12となり, A (2,5)
(2) 直線アとイが一致するためには、まず平行でなければならないから a(a−4)-1(-3)=0
a²-4a+3=0 (a-1)(a-3)=0 よって, α = 1,3
α=1のとき
ア : x-3y=2, イ: x-3y=-8
α=3のとき
ア : x-y=0, ①: x-y=0
したがって,直線⑦と①が一致するのは,α=3
+
このとき,n:x-y=0 であり、直線と点Aの距離は
|25|
√1² + (−1)²
2
(3) lとnの交点をB, m n の交点をCとすると
B (-1,-1), C (4, 4) であるから
BC=√(4+1)^2+(4+1)=5√2
3√2+3)x-(2+a)=2-9a¹a
y el 30
50
1
Aコー
-------
02
n
(
m
x
