(2) 解答と解き方が違うのですがこれでも合ってますか？ はさみうちの原理を使わないとだめですか？

練習 次の極限を求めよ。 2-2 ③ 105 1 nл (1) lim -sin (2) lim + +...+ nn+1 2 (n+1)2 (n+2)2 (3) lim + +...+ 180 n2+1 √n²+2 √n²+n A (2n)2 HINT はさみうちの原理を利用。 (2),(3)については, k = 1, 2, ...... nに対して } 4章 練習 (2) (3) (n+k)² n' √n²+n = √n²+k く が成り立つことを利用。 n nπ 限 注意 (1) -1≦sin ≦1であるから liml n→∞ 2 ≤ n+1 n+1 (-21-1) = 0, lim- n+1 1 (2) 1 2 (n+k)² n² an= 1 2 1 nn+1 1 = nπ 1 -sin- S 2 n+1 = 0 であるから lim -sinm =0 n→∞n+1 2 (k=1,2, ..., n) であるから, (n+1) (n+2)2 2 n² •n= 1 1 + +…+ とおくと (2n) 2 1 1 an<- 3 さ よって 1 0<an< 1 n lim=0であるから non n ←-1≤sin≤10 辺を n+1で割る。 sor ←はさみうちの原理。 ←0<n²<(n+k)² =("S-"E)mil (S) I-g mil mil (8) + liman=0 ←はさみうちの原理。 n→∞

(2) マーカーの部分の意味がわかりません。 解説をお願いします🙇‍♀️

基本 例題 105 数列の極限 (4) (1) 極限 lim COS Nπ を求めよ。 81U n 1 (2) an= + n2+1 n2+2 ++ 1 … はさみうちの原理10000 *** 183 4章 p.174 基本事項] 14 n²+n とするとき, lima を求めよ。 n18 指針 極限が直接求めにくい場合は, はさみうちの原理 の利用を考える。 liman=limbn=α はさみうちの原理 すべてのnについて an≧m≦b, のとき) 818 818 ならば limcn=α 118 ~ (不等式の等号がなくても成立) COS Nд (1) an≤ 1 n (2) n²+k n' bn の形を作る。 それには, かくれた条件-1≦cos0≦1 を利用。 A (k=1, 2,...,n)に着目して, am の各項を 12/27 におき換えてみる。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち n² 8508 (1) 数列の極限 1 COS Nπ 1 ・ 【各辺をnで割る。 n n n lim 常にCOS Nπ =0 はさみうちの原理。 n→∞ n -1≦cosnz≦1であるから 解答 (1) ! lim (2) 8012 1 1 1/2)=0,lim = 0 であるから n 1 n²+k an = n 1 non (k=1, 2,...,n) であるから +: .... + n²+n 1 n= 2 n° n 1 ・+ = 1 n 2 lim- = 0 であるから n→∞n liman=0 n→∞ <n²+k>n²> 0 2 各項を12でおき換える。 10≦liman≦0 12100 <=0 1 + -1 n2+2 1 + 2 2 n n 1 よって 0<an< n

sin x /x→1の証明について 円を用いた面積比較からのはさみうちを使って証明する方法（一枚目）が有名ですが、微分係数の定義に当てはめる（二枚目）のはダメなんでしょうか？ sin xのグラフの原点の傾きという意味なのですごく単純です

[証明] とし,∠ABC = 0 とする.この B 3 のグラ CD lim- 8-082 表しています。 とを を求めよ. かり記憶しておきましょう。 この大小関係は、よく利用されるものなのでしっ y=sin.x 12 0 三角関数に関する極限のうち、最も重要であるのは次の極限です . この定理を用いて, lim sin.x lim 110 I sin.x 1-0 I =1であることを示しましょう. [証明 ] x→0 とするから, 0<|x|<1としてよい。 この公式を証明するための準備として、次の定理の成立を示しておきましょう。 0<x< 10 において, sin.z<x<tanzi sinr<r<tanr の各辺を sin.x(0) で割って, 1<x 1 sinx COS.X ∴. 1> sinx > COS I I 図のように, 半径1の単位円周上に∠AOB=x (x は弧度法の角) となるように2点A, B をとる. lim cos.x=1であるから, はさみうちの原理により +0 このとき面積について, 点Aにおける円の接線と半直線 OB との交点をT とする. B. sinx lim =1 ......① 次に, 2 IC x+0 t< <<0のとき、x=-t とおくと << であるから,①より、 sinx sin(-t) sint IC lim lim- lim- =1 0115 x t+0 -t t+0 t △OAB <扇形 OAB < △OAT が成り立つ. それぞれの面積をx を用いて表すと ①.②より. 1 2 sinr<<tanr 1 2 0-(-x+x) mil lim sinx TC x0 =1 なる.したがって, 0<x<2/27において、 no inil が成り立つ. sinr<r<tang 薫り立つ. (証明終わり) この極限公式は,xが十分に小さい (0に近い)とき, sinx≒x であることを表しています.

なぜ有理化しているんですか

46 重要 例題2 漸化式と極限 (はさみうち) 00000 {an} について,次の(1),(2),(3) を示せ。 0<a<3,+1=1+√1+an (n=1,2,3, …………) によって定められる数列 [類 神戸大] (1) 0<an 3 (2) 3-an+1 < (3-an) 1 3 (3) liman=3 n→∞ % p.33 基本事項 3.基本15 CHART & THINKING 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 漸化式を変形して,一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 小間ごとに,どのような方針を とればよいのか考えてみよう。 (1) すべての自然数nについての成立を示すから,数学的帰納法を利用。 そのために, 何 を仮定すればよいだろうか? (2)(1)の結果を利用。与えられた漸化式をどのように使えばよいか考えてみよう。 (3)(1), (2) で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を用いる。 数列 {3-αn} の極限を 求めればよい。 はさみうちの原理 すべての自然数nについて an ≦ のとき liman=limbn=α ならば limcn=α 818 n18 →∞ (2)の不等式は繰り返し用いる。 どのように利用すればよいか考えてみよう。

本当に辰吉はどこへ行ってしまったのか？辰吉のことを心配しながら彼のその後のことを考えて自分の考えを書くことが難しいので教えてください

024/03/13 15:53 良く、小川未明木に上った子供 木に上った子供 小川未明 たつきち しょうねん たつきち ちい じぶん ちち あるところに、辰吉という少年がありました。 辰吉は、 小さな時分に、父や ははわか そだ おばあさんの手で育てられました。 かあ ねえ にい 母に別れてとも ほかの子供が、やさしいお母さんにかわいがられたり、 姉さんや、兄さんにつ あそ み たつきち じぶん れられて、遊びにいったりするのを見ると、辰吉は、 自分ばかりは、どうして、 [ ひと かな おも 独りぼっちなのであろうと悲しく思いました。 ぼく かあ たつきち たつきち あたま 「おばあさん、僕のお母さんは、どうしたの?」 と、 辰吉は、おばあさんにたず ねました。すると、 おばあさんは、しわの寄った手で、 辰吉の頭をなでながら、 「おまえのお母さんは、あっちへいってしまったのだ。」と答えました。 たつきち かあ 辰吉は、あっちというところが、どこであるか、わかりませんでした。ただ、 くも おうらい おも あちらの雲の往来する、そのまたあちらの、 空のところだと思って、目に涙ぐむ のでありました。 「ぼく かあ かえ たつきち 「おばあさん、僕のお母さんは、いつ帰ってくるの? 」 と、 辰吉はたずねまし た。 まご あたま すると、おばあさんは、孫の頭をなでて、 かあ そら のぼ ほし かえ 「おまえのお母さんは、 空へ上ってお星さまになってしまったのだから、もう帰 おお かあ まいばん そら ってこないのだ。おまえがおとなしくして、大きくなるのを、お母さんは、 み たつきち 毎晩、空から見ていなさるのだよ。」と、おばあさんはいいました。 辰吉は、 そ 「まいばん おもて しん あおぐろ れをほんとうだと信じました。 それからは、毎晩のように、 戸外に出て、 青黒 よる そら かがや ほし ひかり みあ い、夜の空に輝く星の光を見上げました。 ぼく かあ かれ よるそら 「どれが、僕のお母さんだろう?」 といって、 彼は、 ひとり、いつまでも夜の空 かがや ほし さが に輝いている星をば探しました。し たつきち にんげん いつであったか、辰吉は、おばあさんから、人間というものは死んでしまえ てんのぼ ほし ば、みんな天へ上って、 星になってしまうものだと聞いていました。 おお しろ よる そら かがや ほし なか 夜の空に輝く星の中には、いろいろありました。 大きく、 ぴかぴかと、白びか あか かがや りをするものや、また、じっとして、赤く輝いているものや、また、かすかに、 ちい び ひか たつきち 小さく、ほたる火のように光っているものなどがありました。 辰吉は、どれが、 じぶん こい かあ ほし おも 自分の恋しいお母さんの星であろうと思いました。 かあ ぼく うちやね うえ ほくみ 「お母さんは、きっと、 僕の家の屋根の上にきて僕を見てくださるだろう。」 ww.aozora.gr.jp/cards/001475/files/51051_51582.html 1/5 13 注意 使用にならないで 皮膚に貼るなどしない の届かない場所で保管し 温気・油・埃などの面 場合があります。 な用紙に貼る場合 付ける対象の材質に る恐れがあります。 してからご使用 ●長時間貼り付 りますので ●ふせん により

マーカーを引いた部分はどこから求めているのでしょうか？

66 重要 例題 34 無限級数 Σnr” 次の(1),(2)が成り立つことを示せ。 n=12 (2)=2 A (1)lim=0 →∞ 重要 20. 数学日基本と (類工学院) E CHART & SOLUTION (1) 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 二項定理を用いて,をはさみうちにする (重要例題 20 を参照)。 (2) 無限級数nr” S-rS を作る(rは公比) まず部分和 S を求め, n→∞ の極限をとる。 VOTLAS ERCIS 25 次の無限 (1) 26 次の無 (1) 27 1個 A, 部分和 S= 1k-1 k=1.2k k=12 解答 (1) n≧2 のとき,二項定理により 2"=(1+1)"=1+n+ n(n-1) n(n−1) ·+....... 2 2 よって<< n-1 2 Co.1" nCi•17~1.1 28 2・1"-2.12 + ... ASC2.1"-2.12 (2) ここで, lim -= 0 であるから non-1 1 2 3 取 n lim=0 はさみうちの原理 2 noo 2 n Sn == 2+22+23 とすると 2n 1S= ++ 1 2 n-1 n 23 + + 2n 2n+1 Sn よって S-1/2-1/2 1 1 1 22 23 + + +....+ n 2n 2n+1 の部分は,初項 - 1- ゆえに 1 -(1/2)^ d n 22 2n+1 =1- 1- 1 n 2" 2n+1 2' 公比 1/2項数々の等比 2 数列の和。 =limSn=lim 222-lims.= lim (2-211-272/17)=2 n したがって n=1 n→∞ n→∞ n (1)の結果を利用。 PRACTICE 34° 0<x<1 に対して, 11th とおくと>0である。二項定理を用いて, x 1n(n-1)n(n≧2) が示されるから, limnx"=アである た

（1）って分母分子をnで割る lim（n→∞ ）=1/ncosnπ=0 としてはいけないんですか？

基本 例題105 数列の極限 (4)・・ はさみうちの原理 / 183 00000 COS Nπ (1) 極限 lim- を求めよ。 2012 12 1 (2) an= + n2+1 1 n2+2 +......+ 1 n²+n とするとき, lima を求めよ。 p.174 基本事項 [3] 4章 指針 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 の利用を考える。 14 はさみうちの原理 すべてのn について ansen ≦ bm のとき lima=limb =α ならば limc=α (不等式の等号がなくても成立) 00 →co 8111 COSπ (1) an≤- n bm の形を作る。 それには, かくれた条件-1≦cos01 を利用。 THARD 1 (2) n²+k 1/12 (k=1, 2,...,n)に着目して、4mの各項を 12/13 におき換えてみる。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 解答 111であるから COS Nπ 各辺をnで割る。 n n n 1-1)=0,lim1/2=0であるから (2) n-con 11/23s(k=1, 2,..., 12-00 n) であるから COS Nπ lim 0 はさみうちの原理。 n An²+k>n2>0 n²+k 1 1 a= + + + n2+1 n2+2 n2+n n² <+ 1 1 1 +...+ = •n= n² n2 n² n よって0<a< 1 lim =0であるから lima=0 8 n n 検討はさみうちの原理を利用するときのポイント ■各項を12でおき換える。 40≤lima,≤0 数列の極限 はさみうちの原理を用いて数列{c} の極限を求める場合、次の① ② の2点がポイントとなる。 ② 2つの数列{an}, {6}の極限は同じ これをαとする)。 ①≦bを満たす2つの数列{an}, {bm} を見つける。 なお、①に関して、数列{a}, {bm} は定数の数列でもよい。 105 次の極限を求めよ。 (1)lim- 1 sin nπ => ① ② が満たされたとき limcn=α 00 1 1 (2) ++ (n+2)2 (2m) 1001

解答の1行目で実数記号が付いているのはなぜですか。 −1≦sin1/x≦1ではだめですか。

止めよ Think 例題 62 連続と微分可能 **** 1 関数f(x)= = x'sin / (x=0) 調の 分」お 国の は, x=0 で連続か. また, x=0で (x=0) 微分可能か. ( 8-18 考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える. < 連続> <微分可能> f(x) がx=aで連続 f(x) がx=aで微分可能 ⇔limf(x)=f(a) x-a ⇔f'(a)=lim h→0 f(ath)-f(a) (1) h 第3 が存在する ここ 接する =1で x=1で 微分 調微分係 解答 このとき「微分可能であれば連続」 であるが,「連続であっても、 微分可能とは限らな 「い」ことに注意する. Ay 0 sin x limx'sin =0 → limf(x)=f(0) であるか確 0x'sin limx2=0 より x0 したがって, x limf(x)=limx'sin-=0 x0 f(0)=0 より, limf(x)=f(0) となり x0 関数f(x) は x=0 で連続である。 える。 当分する M 次に, lim h→0 f(0+h)-f(0) h かめて, x=0で連続かど うか調べる. >より、各辺にxを 掛けても、不等号の向きは 変わらない. 各辺をx→0として極限 をとり, はさみうちの原理 を利用する. x=0 で微分可能かどうか 調べる. れぞれ ●0 のと ■=ax 0 =2x+1 h² sin =lim 0 対するyの塩分をyと h→0 h (x)'a(x) (x)n)\\={() 1 =limhsin ......(x) h→0 ・h ((笑)) YA |y=f(x) もつ 0hsinh, limh=0. Di h0 limhsin/12=0417mage h→0 よって, f'(0) が存在するので, 関数f(x)はx=0で微分可能である。 1=1-2) (1+x)= ( 《注》> x=αで連続であることとは別に x=aで微分可能であることを示す必要がある. 練習 9 62 関数 f(x) = { xsin (x=0) X は, x=0 で連続か. また, x=0で微分可能か.

(2)と(3)で写真の丸で囲んである箇所のように場合分けする理由をおしえてください。

例 題 51 次の極限値を求めよ. sinx A limxsin X 1 2 lim X イタ 考え方 lim sin x 10 -=1-との違いに注意する. (3) limxsin x → 0 1 x であることに注意する。 lim (2),(3)それぞれ,このままでは直接求めることはできない。 このようなときは, (1)x→∞ではあるが、sin 12に着目すると10 うちの原理 (113) を利用する。そのとき,(2)と(3)で考えるxの他の はさ が異なることに注意する. 180 180 解答 (1)=t とおくと, x→∞のとき,t→0 見 x 1 sint よって, limxsin- =lim -=1 X 「 (2)-1≦sinx≦1より 1 sin x >0のとき ...① A x Xx cos x) 2 考えてよい.ている。 x+∞より,x0 と 辺々を x(>0) で割る。 x11 ここで, lim(-1) = lim1=0 x x xxx よって、①とはさみうちの原理より, lim Sinx -=0 ラジ x-x x 答える。 (3) -1≤sin≤1. x x>0のとき AOのとき (3) ここで, x+0 1 180 Onie S mil- |x≦xin─① x sin xxsin-x x lim(-x)=limx=0 x +0 ② lim.x= lim(x)=0niety x-0 080 したがって, ①,②とはさみうちの原理より, +0) nie 'di 1 limxsin- lim x sin x+0 limxsin=0 よって、 * → 0 in sin s 180 x→0より,x +0 と x→0の場合を考える. 0ssin 1/11とし えてもよい. sin x200 場ができる limf(x)=α x → a =0 x *--0 x 1 nie S x mil- ( = (同じ式) Onia lim f(x) xa+0 として考 = limf(x) = a x-a-0

どうすればこのように式を変えれるのですか

() の極 はさみうちの原理を利用する。 x→∞であるから, x>1 すなわち0 えてよい。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち (1) 不等式 [3x]≦x<[3]+1が成り立つ。 x>0のとき,各辺をxで割ると ここで3< よって 3. lim 1700 [3]+1/2から x x 5 <[3x] ≤3 1< x x (3-1) =3であるから [3x] [3x]_1 ≤3<[3x] x 3-13x1 x x lim [3x]=3 x X X は f(x)= lim f X-400 「ならい 底が = くり であるから,x>10<21212 <1と考えてよい。 このとき {{ } } * +1}" <{{ } ) * +1} * <{{ } } )*+1} (*) A 1<{(³)*+1}*<( 3 )*+1 5 なら 3 5 5, =1 すなわち (2)+1} =1であるから lim +パー よって lim (3*+5*)* = lim 5{( ³ ³ ) *+1}*=5·1=5 3