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初項はα=1であるから、 この式は n=1のときにも成り立つ。
したがって, 一般項は
an=4n-4n+1
56(1) +1=50+2から
よって
x+2=50+1+2
✓ 練習
54
(1) a1=1,n+1-an=-2n
(3) a1=4, an+1-an=3n2
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
(2) α1=3, an+1=an+4n+7
an+2-Qn+1= =(50円+1+2)-(50円+2)
=501-50=5 (4n+1-am)
(4) a1=2, an+1=an+5"
(2) bm=n+1-0から
よって, (1) で導いた等式から
bn+1=5bn
テーマ 25 an+1=pan+g(カ≠1)
準
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
a1=1, an+1=2an-3
ここで, a2=5, +2=5.1+2=7より
b=a-a=7-1=6
数列{6} は初項 6, 公比5の等比数列であるか
考え方等式c=2c-3 を満たすc を用いて, 漸化式を an+1-c=2 (an-c) と変形。
bn=an-cとすると
→
bn+1=26
数列{bm} は公比2の等比数列
カー1
解答 漸化式を変形すると
bn=α-3 とすると
an+1-3=2(ax-3) ←c=2c-3を解くと c=3
bn+1=2bn
よって, 数列 {bm}は公比2の等比数列で, 初項は b1=α-3=1-3=-2
数列 {bm} の一般項は bn=-2.2"-1=-2"
=1
1-(5"-1-1)
=1+6..
5-1
したがって, 数列 {an} の一般項は, a=b+3より a=-2"+3
3(5-1-1)
=1+
2
✓ 練習
55
次の条件によって定められる数列 {az} の一般項を求めよ。
ゆえに
(2) α1=2, an+1=9-2an
(4) a1=1, an+1=4an+1
ら
b=6.5"-1
よって, n≧2のとき
a=a+6.5*1=1+65-1
n-1
(1) a1=5, +1=34n-4
(3) α1=1, an+1 = 1/13ant
練習
56
-an+2
α」=1, an+1=5+2で定められる数列{an} がある。
(1) an+2-αn+1=5 (an+1-αn) を導け。
(2)b=an+1-an とする。 数列 (bm} および数列{an} の一般項を求めよ。
a,=123(3.5°-1-1)
初項は =1であるから,この式はn=1のと
きにも成り立つ。
したがって,一般項は = 1/12(3-5"-1-1)
57 (1) b= とすると
am
