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9 はさみうちの原理
a1=0, an+1=
4
(1) 0≦a<1が成り立つことを,数学的帰納法で示せ.
(2) 1-an+1<
が成り立つことを示せ .
1-an
2
(3) liman を求めよ.
n→∞
an²+36
FESJARIL
(n=1, 2, ......) で定義される数列{an} について
1
2n-1
(1)により,
解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式
an+1=f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として, 以下の方法がある.
1°am の極限が存在して, その値がαならば, liman = α, liman+1 = α であるから, αは α = f(α) を
満たす. これからαの値を予想する.
n→∞0
n→∞0
2°与えられた漸化式 an+1= f(an) と α = f (α) の辺々を引くと, an+1- α = f(an) - f(a) となる
が,これから, |an+1-α|≦k|an-al, kは 0≦ん<1である定数
..☆
の形の不等式を導く.すると,|an-α|≦klan-1-a|≦ke|an-2-a|≦... ≦kn-1|a-a|
0≦an-akskn-1|α1-α|
limk"-1|a-α|=0 であるから, はさみうちの原理により,|an-α|→0
言解答量
(1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する.
n=kでの成立,つまり 0≦x<1が成り立つとすると,k+1 について,
0≤ak+1 <1
4
4
よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された .
DATART
an² +3
1-an
(2) 漸化式から, 1-an+1=1-
(1-an)
4
4
1-an>0であるから,
1+ an
4
n→∞
(なお、要点の整理・例題 (8) から,☆のkは定数でないと, an →α とは結論できない)
02312+3
-≤ak+1 <=
< 1+1=1/12/2
4
..
1-an+1<
-1</2/(1-an)
(3) 1-a>0と①を繰り返し用いることにより,
1
1
0≤1-an < (1-an-1)< (1- -an-2)<... <-
22
2n-1
1tan_
4
(解答は27)
-(1-a₁)=
- 0 より はさみうちの原理から lim (1-4m) = 0
n-00
1
2n-1
liman=1
(岡山県大・情報工-中)
1118
:. an→α (n→∞)
0≦x<1のとき,02≦a² <12
←漸化式を用いて1-Qn+1 を anで
表す.
本問の場合、求める極限値をα
として, 1° を使うと,
a²+3
α=
4
からαの値が予想できる.
a=1, 3
