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Mathematics Senior High

左下の🟥で囲ったとこなんですが=がついてるのは何故でしょうか? 左上の🟦が示せているので=はつかないと思ったのですが。 よろしくお願いします。

an²+3 4 (n=1, 2, ……) で定義される数列{an}について a1=0, an+1 (1) 0≦an<1が成り立つことを,数学的帰納法で示せ. 1-an (2) 1-an+1< が成り立つことを示せ . 2 (3) liman を求めよ. n→∞ 1 2n-1 解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 an+1= f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として,以下の方法がある. an の極限が存在して,その値がαならば, lima,=α, lima,+1=α であるから, αはα = f(α) を 1° 満たす.これからαの値を予想する. 2°与えられた漸化式 an+1=f(a) と α = f(α)の辺々を引くと, an+1-α=f(a) - f(α) となる が,これから, |an+1-α|≦k|an-αl, kは 0≦x<1である定数・ の形の不等式を導く. すると,|an-al≦klan-1-al≦k2|an-2-al≦..≦kn-1|a-a| 0≦an-a|≦kn-1|α-a| limkn-1|α1-α|=0であるから, はさみうちの原理により, an-α|→0 n→∞ · ≤ak+1<- 解答量 (1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n =kでの成立,つまり0≦x<1が成り立つとすると,k+1 について, 02+3 12+3 .. 0≦ak+1 <1 4 よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された. an²2+3 1-an² 2 1+ an (2) 漸化式から, 1-an+1=1-- (1-an) 4 4 4 (1)により tan1+1=1/21-0,>0であるから, 4 = 1-a₂+1 <1/12/2 (3) 1-a>0と、① を繰り返し用いることにより, 01-an</(1-an-1) 22 (1-0₁-2) <... < ・(1- 2² (なお、要点の整理・例題 (8) からのkは定数でないと, an→α とは結論できない) -(1-an) (1 n→∞ 2n-1 n→∞ (1−1)=1 →0より, はさみうちの原理から lim (1-am) = 0 n→∞ HAS 2n-1 liman=1 118 (岡山県大情報工-中 an→α (n→∞) 0≦x<1のとき,02≦ak2/12 漸化式を用いて 1-an+1 を an 表す. a= 本問の場合、求める極限値を として, 1° を使うと, a²+3 4 からαの値が予想できる. ∴.α=1,3

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Mathematics Senior High

青の線を引いたところの変形はどうしてこうなるのですか??

題) (1) f(z)>0を示せ . (2) g(x) I g'(x) |g"(x) g(x) x>1においてf(z)=√x-logs, (3)(4) g(x)=- g″(x)=-³ 818 (3) g'(x), g'(x) を計算し,g(x)の極値, 変曲点の座標を求めよ. (4) 関数y=g(x)のグラフをかけ. 1 x x 解答量 (1) f'(x)= I f'(x) よって、増減は右のようでf(x)はx=4で最小となり, f(x) f(x) (4)=2-log 4=2(1-log 2) >0 (∵2<e) I >√x log x (2) g(x)>√x を変形する。 と同値で,①を示せばよいが,これは (1) により成り立つ. g(x) >√x €, √x→∞ (x→∞) CħZA¹5, limg(x)=∞ × IC xk lim logx 818 mk -=0 (a>1, k>0) x-a 「α² から見たから見た log x は、無視できるほ ど小さい」という感覚が大切で, 証明を要求されていないときは,表題の極限値は既知として扱ってよ いだろう.次のイメージをもっておこう (1<a<e<bとする) ......, log x,....... √x, x, x2......., a², ex, bx, 弱 ... 1 1 2√x IC -+ | __logx-2 (logx-1) x(log x)³_- 4 = 0, lim 2-logx x (log x)³ よって, y=g(x) の増減凹凸は下表のようにな り, limg(x)=8, limg(x) = ∞と合わせ, グラ x→1 フは右のようになる. 極値はg (e) = e. e² 6 グラフ / 指数・対数がらみー 1·log x-x.1 (log x)² 1 1 (log x)² - (log x-1) 2 (log x).- IC (log x)4 x18 e X のとき,g'(x)=- log x 0 + limg(x)=∞ を示せ. を示せ.これを用いて ... ++ √x-2 2.x > −log.x, g(x)=- 0+ = I log x + - ( logx>0 により、√x x-8 とするとき次の問いに答えよ. IC 1+01 YA e2 2 e 1 0 1 ... V 強 4 0 + e 変曲点 ... log x-1 (log x)²() mil 1 2/2 (x480) 2130 DS-(a+wa (佐賀大・理工) 最小値>0を示せばよい. + g(x)=>√x →∞ 88 log e² x log2<loge=1 変曲点の座標はグラフに描いた.

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