指針> (1) 三角形は,同じ直線上にない3点で1つできる (前ページの検討参照)。
重要例題25)三角形の個数と組合せ
を共有しない三角形の個数を求めよ。ただしnw5 とする。 [類法政大, 麻布大)
正八角形 A1A2……As の頂点を結んでできる三角形の個数を求めよ。人e
33.
①OO0
よ。
世有しない三角形の個数を求めよ。ただしn25とする。: [類法政大, 麻布大]
基本 24
「11 正八角形と1辺だけを共有する三角形
→共有する辺の両端の点と,その辺の両隣の2点を除く点が頂点となる。
「21 正八角形と2辺を共有する三角形→隣り合う2辺でできる。
(2) の (1), (2), (3) の問題 (1), (2)は (3) のヒント
11
5
3章
(全体)-(正n角形と辺を共有する三角形)で計算。
合
人お ()
I人ー
せ
COE
解答
正八角形の8つの頂点から, 3つの頂点を選んで結べば, 1
つの三角形ができるから,求める個数は
8.7-6
A」
8C3=
3.2·1
=56(個)
A。
A。
(2)[1] 正八角形と1辺だけを共有する三角形は,各辺に対| A,
し、それに対する頂点として, 8つの頂点のうち, 辺の両端
および両隣の2頂点以外の頂点を選べるから, 求める個数
は
[2] 正八角形と2辺を共有する三角形は,隣り合う2辺で 頂点1つに三角形が1つ対
できる三角形であるから, 8個ある。
よって,求める個数は
(3) 正n角形の頂点を結んでできる三角形は,全部で, Cs 個あ
る。そのうち,正n角形と1辺だけを共有する三角形は |(*) (三角形の総数)
n=5のとき n(n-4) 個あり, 2辺を共有する三角形はn個
のるから,正n角形と辺を共有しない三角形の個数は -(2辺を共有するもの)
A,
A。
(8-4)-8=32 (個)
る人 A。
応する。
役
32+8=40(個)
ー(1辺だけを共有するもの)
イ=(n-1)(n-2)
n(n-1)(n-2)
3-2·1
ノ-n(n-4)-n
-6(n-4)-6}
*,Ca-n(n-4)-n=
=n(nー9n+20)
-n(nー4)(n-5)(個)
to
豊
