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総合 (1) 実数x, yが(x-3)+(y-3)=8を満たすとき, x+y と xyのとりうる値の範囲をそれぞ
れ求めよ。
(2)α,Bは (α-3)2 +(B-3)" =8 かつα<βを満たす実数とする。 また, α, Bは2次方程式
x²-kx+5
-=0の2つの解であるとする。 このとき, k, α, βの値を求めよ。
(1)(x-3)+(y-3)=8 から
[埼玉大]
本冊 数学Ⅱ 例題 50
x2+y2-6(x+y)+10=0
よって
(x+y)²-2xy-6(x+y)+10=0
x+y=X, xy=Yとおくと
X2-2Y-6X +10 = 0
←x, yの対称式→基
本対称式x+y, xy で表
す。
ゆえに
Y = 1/12 X-3X +5...
①
また, x, yは2次方程式-Xt+Y= 0
解である。
②の2つの実数 ←ー(和)t+ (積) = 0
2次方程式②の判別式をDとすると
D=X2-4Y
2次方程式 ② が実数解をもつための条件は
X2-4Y0
よって
①を代入して 2-4 (1/2x-3X+5 ) 20
D≧0
←x, yの実数条件に注
意。
ゆえに
ゆえに
X2-12X+20≦0
よって (X-2) (X-100
2≤ X ≤10
......
(3
また、①を変形するとY-12(x-3)2 +12/2
よって、③のもとでYのとりうる値の範囲は
≤Y≤25
2
したがって
2≦x+y≦10,
(2)α,βは2次方程式xkx+1=0の2つの解であるから,
解と係数の関係により
≤xy≤25
2
5
2
5
a+β=k, aβ=-
*****
4
2
YA Y=1/2(x-3)2+,/172
25
0
(3/12)
10 X
α,βは (α-3)2 +(β-3)=8を満たしαキβであるから, (1) ←α,Bは (1) の x, y と
と同様に考察すると, (1) のDについて D>0であり
2 <α+β <10
すなわち
2<k<10
また,aB=1/12 (a+B)2-3(a+β)+5が成り立つから,④より
5
1
k2-3k+5
2 2
ゆえに
(k-1)(k-5)=0
2<k<10であるから k=5
よって k2-6k+5=0
同様の条件を満たすから、
同様の考察により,①す
なわち
1=1/12(4+B)2
aβ=
100
-3(a+B)+5
などを導くことができる。
ただし, αキβ から
D0 となることに注意。
←2x²-10x+5=0
5
5±√15
このとき、2次方程式x2-5x+1=0 を解くとx=-
2
5-15
5+√15
α <βであるから a=
B=-
29
2
