問題 91 次の3つの2次方程式が共通な実数解をもつとき, a, b, cの間に成り立つ関係式を求めよ。
ax2+bx+c=0, bx2+cx+a = 0, cx2+ax+ 6 = 0
3つの方程式が2次方程式であるから
a±0, b±0, 6+0
xの係数は0でない。
共通解をα とおくと
aa2+ba+c=0
ba+ca+a= 0
ca2+aa+b=0
3つの式の辺々を加えるとひかない
(a+b+c)+(b+c+a)a+(c+a+b) = 0
(a+b+c)(a°+α + 1) = 0
αは実数であるから
よって
a+b+c=0
a2+α+1=0
逆に, a+b+c=0 のとき
a=-(b+c),b=-(c+α),c= -(a+b)
(ア) a = -(b+c)をhreterta=
a2+α+1=0 において
D=12-4.1.1=-3<
より実数解はなし。